Question

已知点M(1,y)在抛物线C:y^2=2px上,M点到抛物线C的焦点F的距离为2,直线l：y=-1/2+b与抛物线交于A、B两点

若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值

Answer 1

先求抛物线方程
M点到抛物线C的焦点F的距离为2
根据抛物线的定义，那么M到准线的距离也是2
准线方程是x=-p/2
所以1+p/2=2 p=2
抛物线方程是y²=4x
根据题意，直线y=-x/2+b和抛物线有两个交点，并且b<0
直线方程带入抛物线方程y=-y²/8+b 整理就是y²+8y-8b=0
方程有两个根 算出来Δ>0 所以0>b>-2
(y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1y2=64+32b
有y1-y2=-1/2(x1-x2)⇒(x1-x2)²=4(y1-y2)²=256+128b
AB²=(y1-y2)²+(x1-x2)²=320+160b
直线方程写成2y+x-2b=0
那么原点到AB的距离就是h=(-2b)/√5(这里b<0的所以不加绝对值了)
S△AOB=1/2AB*h=1/2*(-2b)/√5*[√(320+160b)]=(-b)*4√(4+2b)=4√b²(4+2b)
根号里面是b²(4+2b)=(-b)(-b)(4+2b)≤(4/3)³(和定积最大)
仅当-b=-b=4+2b的时候取等号 这时候b=-4/3>-2在定义域内 可以取
S△AOBmax=4*4/3√(4/3)=32√3/9
检查我算没算错啊
注：基本不等式abc≤[(a+b+c)/3]³ (a，b，c都是正数)
仅当a=b=c的时候取等号