Question

如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F。

如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F。
（1）如图，①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE CF（2）如图，②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，试求：FE长。

Answer 1

（1）这个很简单 EF∥BC，∠EAB=∠FAC=∠ACF=∠EBA=45°
△ABE 和△ACF皆为等腰直角三角形
所以EA=EB , AF =FC
所以EF=BE+CF
（2）证明△ABE≌△ACF
∵AB=AC，∠BEA=∠AFC=90°
∠CAF= 90°- ∠BAE = ∠EBA
∴△ABE≌△ACF
∴CF = AE ,AF = EB
∴EF=BE+CF=10+3=13

Answer 2

AE平分∠BAC
所以∠BAE=∠EAC
在直角三角形efd中
∠FED=∠B+∠BAE=180°-∠BEA=180°-∠C-∠EAC
∠EFD=90°-∠FED=90°-(∠B+∠BAE)=90-(180°-∠C-∠EAC)=∠C+∠EAC-90°
得到方程:
①∠EFD=90-∠B-∠BAE
②∠EFD=∠C+∠EAC-90=∠C+∠BAE-90°
①+②=
2∠EFD=∠C-∠B
所以∠EFD与∠C∠B大小关系是
∠EFD=1/2(∠C-∠B)

Answer 3

（1）∵EF与BC不相交
∴EF∥BC，
因为BE⊥EF，CF⊥EF，
∴BCFE是矩形
∴BC=EF
∵AB=AC，∠BAC=90°且BCFE是矩形
∴∠BAE=∠EBA=45°，∠CAF=∠ACF=45°，
∴BE=AE，AF=CF又∵BC=EF，EF=AE+AF
∴EF=BE+CF
（2）∵AB=AC，∠AFC=∠AEB=90°
∴△ABE≌△AFC
∴CF=AE=3，BE=AF=10
∴EF=AE+AF=13

Answer 4

1）证：如果过A的直线和BC不相交，那么在平面几何中，该直线和BC并行。因为AB=AC
可得：FC=AF,BE=AE.则,EF=BE+CF.
2)如果过A的直线和BC相交，分两种情况，相交在三角形内时，FE=7,,相交BC的延长线时，FE=13.