Question

已知函数f(X)= (√(x)+1)/(x+3) ， x∈[0，a]

已知函数f(X)= (√(x)+1)/(x+3) ， x∈[0，a] ，其中a为常数
(1)当a=1/4时，求f(X)的值域
(2)是否存在自然数a，使得函数的值域恰好为[1/3,1/2]

答案是(1)[1/3,6/13]
(2)a∈[1,9]且a∈Z

求过程 ，求过程~~

Answer 1

(1)当a=1/4时，令√x=t,则x=t^2,0<=t<=1/2,
函数变为
f(t)=(t+1)/(t^2+3)
f'(t)=[(t^2+3)-2t(t+1)]/(t^2+3)^2=-(t+3)(t-1)/(t^2+3)^2>0 (0<=t<=1/2 )
即0<=t<=1/2时,函数是增函数,所以
最小值=f(0)=1/3,最大值=f(1/2)=6/13
即值域为 [1/3,6/13]
(2)a>0,且 0<=t<=√a
由f'(t)=-(t+3)(t-1)/(t^2+3)^2=0,得
驻点t=1
即t属于[0,1]时函数递增,最小值=f(0)=1/3,最大值f(1)=1/2,即a=1可以!
t>=1函数递减,只要保证最小值为1/3,一样成立!
此时(t+1)/(t^2+3)=1/3
解得t=3,而t=√a=3,所以a=9,
所以
a∈[1,9]且a∈Z.