Question

在数列an中,已知a1=1,an+1=2an/an+2 求证1/an为等差数列,并求an的通项公式

Answer 1

an+1=an/(1+2an) => 1/a(n+1)=(1+2an)/an=1/an+2
∴1/a(n+1)-1/an=2
∴{1/an}是等差数列
由1/a(n+1)-1/an=2可得
1/an-1/a(n-1)=2
1/a(n-1)-1/a(n-2)=2
.1/a2-1/a1=2
将上述a2到an共n-1个等式加起来,得
1/an-1/a1=2*(n-1)
1/an=1/a1+2(n-1)
=1+2n-2
=2n-1
∴an=1/(2n-1)