Question

大一高数，求大神指导

Answer 1

弧长公式

面积就是曲线积分

解答过程如下

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设曲线L的方程为y=y(x),x>0
则其上任一点P（x,y）处切线方程为：
Y-y=y'*(X-x),令X=0,得y轴上的截距为b=y-xy'
于是有：
√(x^2+y^2)=y-xy'
两边平方得
x^2+y^2=y^2-2xyy'+x^2*y'^2
y'^2-2*y/x*y'-1=0
解得y'=y/x+√[(y/x)^2+1]或y'=y/x-√[(y/x)^2+1]
考虑到x>0,且y-xy'≥0,故y'≤y/x,故只能取
y'=y/x-√[(y/x)^2+1]
令y/x=z,则y=xz,y'=z+xz',故
z+xz'=z-√(z^2+1)
得z'/√(z^2+1)=-1/x
两边分别积分,得
√(z^2+1)=-ln|x|+C
得z^2=(C-ln|x|)^2-1
y=xz=x√[(C-ln|x|)^2-1]或y=-x√[(C-ln|x|)^2-1]
考虑恒过点A(0.5,0),则过该点时切线在y轴上的截距为0.5,也即当x=0.5时,必有y'=-1

面积就是曲线积分