Question

已知集合S={(x,y)|x=m,y=-3m+2,m∈N+},T={(x.y)|x=n,y=a(n²-n+1),n∈N+,a∈Z且a≠0},

且S∩T≠∅,求a的值

Answer 1

a(x²-x+1)=-3x+2
ax²+（3-a)x+a-2=0
由S∩T≠∅知S与T由整数交集即x∈N+,y∈Z且y≠0
假设方程的整数解有2个，那么
设方程ax²+（3-a)x+a-2=0的两解为x1,x2,则x1∈N+,x2∈N+
从而x1x2=(a-2)/a∈N+,x1+x2=(a-3)/a∈N+,
由(a-2)/a∈N+,a∈Z且a≠0得a=-2,-1
由(a-3)/a∈N+,a∈Z且a≠0得a=-3,-1
此时a=-1,方程为-x²+4x-3=0得x1=1,x2=3。
而二次方程最多有两个不同解。
从而知假设成立，即S与T由整数交集一定是2个，且a=-1，