Question

请教：这个积分该怎么积？我要具体过程。

dx/[(ca-2x)(cb-3x)]=kdt，a、b为下标，k为常数。
两边做定积分，x从0积到x0，t相应地从0到t0。右边我是知道的，积好后就是kt0，左边怎么弄，我查了常用公式好像没有这种情况的。哪位高手能把左边积分的具体过程说一说啊，如果这里写不清楚，可以写在word文档里发给我，123065886@qq.com，不胜感谢！

Answer 1

为方便起见 记ca=m cb=n
（1）n=3m/2 左边积分=对(2/3)*dx/[(m-2x)^2] 积分 =1/[3(m-2x)]+C
（2）n<>3m/2 1/[(m-2x)(n-3x)]=1/[(n-3m/2)(m-2x)]+1/[(m-2n/3)(n-3x)]
所以左边积分=[ln(m-2x)]/(3m-2n)+[ln(n-3x)]/(2n-3m)+C=ln[(m-2x)/(n-3x)]/(3m-2n)+C

追问

第（2）种情况有固定公式吗？也就是把一个式子拆成两个式子的和的通用公式

追答

只给你简单一点的通法 以二次和三次为例
二次的时候 f(x)=ax^2+bx+c
若f(x)有两个相异实根r1 r2 则f(x)=a(x-r1)(x-r2) 1/f(x)=1/[a(x-r1)(x-r2)]=A/(x-r1)+B/(x-r2)
A B的值可通过 通分后解方程得出 并且值是两个实数
若f(x)有两个相同的实根r f(x)=a(x-r)^2 那么用我上面解答中的第一种情况
若f(x) 无解 那么将f(x)表示成a(x-m)^2+n的形式 然后利用对x的线性代换 x=kt+b(具体的k t自己找) 使得f(x)=g(t)=s(1+t^2) 然后领用1/(1+t^2) 积分为 arctan(t) 解决问题
三次的时候 f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
若f(x)有三个实根r1 r2 r3 令1/f(x)=A/(x-r1)+B/(x-r2)+C/(x-r3) 解出A B C （通分比较系数）
若f(x)仅有一个实根r 令f(x)=(x-r)(px^2+qx+t) 那么1/f(x)=A/(x-r)+(Bx+C)/(px^2+qx+t) 解出ABC