Question

已知向量α，β，γ，满足|向量α|=1，|向量α-向量β|=|向量β|，

（向量α-向量γ）*（向量β-向量γ）=0，若对每一确定的向量β，|向量γ|的最大值和最小值分别为m，n，则对任意向量β，m-n的最小值是

Answer 1

[[注:
①题中的三个向量依次用a, b, c代替,因为希腊字母难打.
②该题用"数形结合"方法较好.这就要求熟练掌握向量加法的三角形法则.
③根据我的描述,画出相应的图.]]
解:
∵向量a的模为1,即|a|=1.
∴把向量a移到平面直角坐标系中时,其终点A必在单位圆上,
即"向量OA"=a.
又向量b满足:|a-b|=|b|.
∴把向量b移到平面直角坐标系中时,其终点B必在线段OA的中垂线上,
即"向量OB"=b.
再以线段AB为直径画一个圆M,并在该圆上任取一点C,
记"向量OC"=c.
易知: 向量(a-c)⊥向量(b-c).
∴(a-c)*(b-c)=0.
∴向量c的终点在以线段AB为直径的圆M上.
数形结合可知m-n就是圆M的直径|AB|
即m-n=|AB|
显然,当点B在线段OA的中点时,m-n最小=1/2.
即(m-n)min=1/2.