Question

泰勒公式是什么？简单点！谢谢！

Answer 1

由来：
f(x)在点x0处有n阶导数，我们尝试用n次多项式Pn(x)近似代替f(x)
Pn(x0)=f(x0)
Pn'(x0)=f'(x0)
Pn"(x0)=f"(x0)
......
Pn(n)(x0)=f(n)(x0) 这里表示n阶导数
于是就可以得出
Pn=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+1/2!f"(x0)(x-x0)²+...+1/n!f(n)(x0)(x-x0)^n
也就是说
在x0点出， Pn的i阶导数值等于f(x)的i阶导数值..i≤n
则称Pn(x)为f(x)的泰勒多项式，在x0点处近似表示f(x)

定理：
f(x)在点x0处有n阶导数,则在x0处附近f(x)可以表示为

f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+1/2!f"(x0)(x-x0)²+...+1/n!f(n)(x0)(x-x0)^n+ Rn(x)

其中Rn(x)=o((x-x0)^n),也就是(x-x0)^n的高阶无穷小，
我们称上式为f(x)在x0处得泰勒展开公式

理解：
泰勒公式就是取一个基点，然后再一定范围里面近似表示f(x)的一种方法
比如上式就是在基点x0处，范围为△x=x-x0里面近似表示f(x)
故上式代入△x=x-x0得到
f(x)=f(x0)+f'(x0)△x+1/2!f"(x0)△x²+...+1/n!f(n)(x0)△x^n+ o(△x^n)

特别地，当x0=0时，我们称上式为迈克劳林公式..
f(x)=f(0)+f'(0)x+1/2!f"(0)x²+...+1/n!f(n)(0)x^n+ o(x^n)

追问

【于是就可以得出
Pn=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+1/2!f"(x0)(x-x0)²+...+1/n!f(n)(x0)(x-x0)^n】
怎么得出的？

追答

呵呵 看来我没说清楚呢
在x0附近的n次多项式可以表示为
Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)²+...+an(x-x0)^n
然后可以发现
a0=Pn(x0)
a1=Pn'(x0)
a2=1/2!Pn"(x0)
....
an=1/n!Pn(n)(x0)
故上式可以写成
Pn(x)=Pn(x0)+Pn'(x0)(x-x0)+1/2!Pn"(x0)(x-x0)²+...+1/n!Pn(n)(x0)(x-x0)^n

假设f(x)在x0处有n阶导数，我们希望多项式在x0处得值，以及在x0的各阶导数的值
分别于f(x0),f'(x0),...f(n)(x0)相等
于是我们构造
Pn(x0)=f(x0)
Pn'(x0)=f'(x0)
Pn"(x0)=f"(x0)

这样代入的话，就得到了泰勒多项式

Pn=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+1/2!f"(x0)(x-x0)²+...+1/n!f(n)(x0)(x-x0)^n

Answer 2

在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。

祝你开心！

追问

谢谢您哈哈！老师您辛苦了！