Question

若1<x<=2.不等式ax^2-2ax-1<0恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

y=ax^2-2ax-1=a(x-1)^2-(1+a^2)
△=4a^2+4a=4(a+1/2)^2-1
当a=0时，不等式恒成立
当a>0时，△>0，与x轴有两个交点，开口向上
解方程ax^2-2ax-1=0得交点坐标为x1=1-√(1+a^2)/a，x2=1+√(1+a^2)/a
欲使不等式成立，需使x1≤1，x2>2
解不等式得，a>0，即a>0时，不等式在1<x<=2上恒成立
当a<0，且△<0时，与x轴无交点，开口向下，此时不等式恒成立
由△=4a^2+4a<0解得，-1<a<0
当a<0，且△≥0时，与x轴有交点，开口向下
此时不等式成立的条件为x1≤1，x2>2
但当a<0时，x1=1-√(1+a^2)/a>0，条件不成立，a无解，不等式不成立
综上所述，a的取值范围为：(-1,+∞)