Question

如图，⊿ABC内接于圆O，AB=AC，弦AD交BC于点E，AE=4，ED=5，（1）求证：AD平分∠BDC；（2）求AC的长；

（3）若∠BCD的平分线CI与AD相交于点I，求证：AI=AC。

Answer 1

(1)
证明：
∵AB=AC
∴弧AB=弧AC
∴∠ADB=∠ADC
即AD平分∠BDC
（2）
∵弧AB=弧AC
∴∠ADC=∠ACB
∵∠CAE=∠ADC
∴△ACE∽△ADC
∴AC²=AE*AD=4*（4+5）=36
∴AC=6
（3）
∵∠AIC=∠ICD+∠IDC，∠ACI=∠ACB+∠ICB
又∵∠IDC=∠ACB，∠ICD=∠ICB
∴∠ACI=∠AIC
∴AI=AC

Answer 2

(1) 因为AB=AC，所以∠BDA=∠ADC，所以AD平分∠BDC
(2)因为∠ADC=∠ABC，所以∠BDA=∠ABC
又∠BAE=∠DAB，所以三角形ABE与ADB相似
有AB*AB=AE*AD=4*（4+5）=36
所以AC=AB=6
(3) ∠ACI=∠ACB+∠BCI,∠AIC=∠ICD+∠IDC
因为∠ACB=∠ADB=∠IDC,∠BCI=∠ICD
所以∠ACI=∠AIC
所以AI=AC

Answer 3

1)证明:AB=AC,则弧AB=弧AC,故:∠BDA=∠CDA;
2)解:∠BDA=∠CDA(已证);又∠BDA=∠BCA.则:∠CDA=∠BCA.
又∠BAC=∠CAE(公共角相等),所以,⊿DAC∽⊿CAE,DA/CA=CA/EA.
即:(AE+ED)/CA=CA/EA,9/CA=CA/4,CA^2=36,CA=6.
3)证明:∠AIC=∠ADC+∠ICD;
∠ACI=∠BCA+∠BCI=∠ADC+∠BCI;
又∠BCI=∠ICD.
所以,∠AIC=∠ACI(等量代换),故AI=AC.

Answer 4

证明：（1）由在圆O内AB=AC得：∠ADC=∠ADB ∴AD平分∠BDC
（2）∵AB=AC ∴∠ACB=∠ABC
又∵∠ABC=∠ADC ∴∠ACE=∠ADC
∵∠CAE=∠DAC ∴△CAE∽△DAC ∴AC^2=AE*AD=4*(4+5)=36
∴AC=6
(3) ∵∠AIC=∠ADC+∠DCI ∠ACI=∠ACE+∠BCI
又CI平分∠BCD ∴∠DCI=∠BCI ∵∠ADC=∠ACE
∴∠AIC=∠ACI ∴△ACI为等腰三角形 ∴AC=AI

Answer 5

(1)因为AB=AC，所以其对应的圆内角相等，所以∠BDA=∠ADC.这是一个定理。
（2）∠BDA=∠ADC，∠BDA=∠BCA
△ACE∽△ADC
AE:AC=AC:AD
4:AC=AC:9
AC=6
(3∠AIC=∠ICD+∠IDC
∠ACI=∠ACB+∠ICB
∠IDC=∠ACB
∠ICD=∠ICB
∠ACI=∠AIC
AI=AC