Question

关于高等数学求导数的疑问

关于高等数学求导数的疑问请帮忙看一下图上写的是不是错的

Answer 1

没错的，这是对的。
注意几点，
1、导数的定义公式中，分子的f（a+△x）和分母的△x中的△x，可以用其他任何字母代替，如h，t等。但是必须相等，分子的f（）下是加h，分母就必须是h，分子的f（）下是2h，分母就必须是2h
2、分子中的f（a+△x），必须是加号，不能是减号，如果是减号，必须变换成加号才行。
所以图片上的推导是没错的。

追问

但是您看他灰色地方说有点问题，我怎么也看不出是怎么回事

追答

你这是两个不同的问题。
首先lim（h→0）[f（a+2h）-f（a）]/h=2f'（a）这是没错的。
但是lim（h→0）[f（a+2h）-f（a+h）]/h=f'（a）这是错误的。
因为lim（h→0）[f（a+2h）-f（a+h）]/h
=lim（h→0）[f（a+2h）-f（a）-f（a+h）+f（a）]/h
=lim（h→0）[f（a+2h）-f（a）]/h-lim（h→0）[f（a+h）-f（a）]/h
这是错误的。
因为原式子lim（h→0）[f（a+2h）-f（a+h）]/h没有f（a），所以f（a）无定义，或不连续都对原式子lim（h→0）[f（a+2h）-f（a+h）]/h无影响。
但是变成了lim（h→0）[f（a+2h）-f（a）-f（a+h）+f（a）]/h，加上的f（a），那么f（a）无定义，或不连续就影响这个式子了。
所以lim（h→0）[f（a+2h）-f（a+h）]/h=lim（h→0）[f（a+2h）-f（a）-f（a+h）+f（a）]/h是错误的，那么后续得到的
lim（h→0）[f（a+2h）-f（a）-f（a+h）+f（a）]/h=f'（a）也就和原来的极限没任何关系了。

追问

好的好的，原来这样，我一直以为是第一张图上那样推的是错的，来回检查又感觉没问题，打这么多字辛苦了，谢谢您啦！

追答

这样说吧，我们一般都知道极限的四则运算，例如lim[f（x）±g（x）]=limf（x）±limg（x）
但是很多人往往会忘记这些公式都有成立的前提，例如lim[f（x）±g（x）]=limf（x）±limg（x）成立的前提是limf（x）和limg（x）两个极限都必须存在，都必须是有限常数，不能是无穷大或其他极限不存在的情况。
那么再来看lim（h→0）[f（a+2h）-f（a）-f（a+h）+f（a）]/h=lim（h→0）[f（a+2h）-f（a）]/h-lim（h→0）[f（a+h）-f（a）]/h这个等式。
题目没说lim（h→0）[f（a+2h）-f（a）]/h和lim（h→0）[f（a+h）-f（a）]/h都是存在的啊，都是有限常数啊，没这么说啊。
所以分析中，举的例子就正好是lim（h→0）[f（a+2h）-f（a）]/h和lim（h→0）[f（a+h）-f（a）]/h的极限都是无穷大（不连续的时候），但是两者的差的极限却是有限常数的情况。所以才说画了*号的等号处，是常见的错误情况。

Answer 2

没有错，分子分母的变化范围必须一致，这是导数的定义。

追问

但是您瞧一下这个

就是灰色的那部分

一时看不明白哪里有问题

追答

没有什么问题，f（a）必须是连续的点。

Answer 3

当 f(x) 连续时， 正确。

追问

但是麻烦您看下这灰色区指的是哪一块，我不太清楚是怎么回事