Question

初等数论题目

求所有正整数 n，使 7 ^ n | 9 ^ n - 1（n ^ m = n 的 m 次方）。

Answer 1

不存在

如果存在的话，原题等价于7^n|(3^n+1)(3^n-1)。右边的两个因子只有公因数2，所以如果式子成立必有7^n|3^n+1或3^n-1。一个较小的数整除一个较大的数显然不可能

追问

为何 7 ^ n 不整除 3 ^ n + 1 和 3 ^ n - 1 则 7 ^ n 不整除 ( 3 ^ n - 1 )( 3 ^ n + 1 )?
4 与 6 之公因数只有 1、2，8 不整除 4 和 6，但 8 整除 4 * 6 即 24。
只能由 7 ^ n 整除 3 ^ n + 1 和 3 ^ n - 1 中一个或两个式子得到 7 ^ n 整除 ( 3 ^ n - 1 )( 3 ^ n + 1 )，好像不能从 7 ^ n 不整除这两个式子这个结论得出其不整除它们的积。

追答

( 3 ^ n - 1 )和( 3 ^ n + 1 )不能同时有公因数7，他俩之差为2，4和6不是互质的
这个条件互质的时候成立。你再想想。这个是初等数论里比较基本的结论

Answer 2

不存在这样的正整数

追问

过程？

追答

.

Answer 3

不存在正整数 n， 7 ^ n | 9 ^ n - 1等价于7^n|(3^n+1)(3^n-1)。一定有 7 ^ n＞3^n+1＞3^n-1，所以7 ^ n不整除3^n+1且7 ^ n不整除3^n-1。那么，一定有7 | 3^n+1，7 | 3^n-1，（此时需要n≥2，n=1代入算就知不成立)。所以7 | 2x3^n，所以7 | 3^n，矛盾，所以不存在正整数 n使 7 ^ n | 9 ^ n - 1成立。