Question

一些很简单的高中数学题目，急切求解答，在线等待！！解出多少算多少！

↑ 这个符号表示次方 派 表示3.14159那个无限循环小数

1.已知函数f(x)=ax↑2+bx↑2(x 属于R）的图像过点P（-1,2），且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直。
（1）求函数f(x)的解析式。
(2)若函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增，求实数m的取值范围。

2.在三角形ABC中，已知角A、B、C所对的三条边分别是a、b、c，且满足b↑2=ac。
（1）求证:0＜B≤ 派/3
（2）求函数y=(1+sin2B)/(sinB+cosB)

3.设a＜0，讨论函数f(x)=lnx+a(1-a)x↑2-2(1-a)x的单调性

4.设函数f(x)=x↑3-二分之九的X的平方+6x-a
(1)对于任意实数x,f'(x)【注意有个导数符号】大于等于m恒成立，求m的最大值
（2）若方程f(x)=0有且仅有一个实根，求a的取值范围

5.已知函数f(x)=2cos2x+sin↑2x
求f(派除以12）的值；

全部问题要求有较为详细的解答过程，尽量按照规范来，解决多少是多少，拜托了！写得好的还有追加！！！！！
。。。。第一题是 ax↑3 抱歉！ 还有and狗请问*这个符号意思是相乘吗？

另外第二题的第二小问是求它的值域啊。。。漏打了。。

Answer 1

1.(1)f(X)=ax²+bx过点P(-1,2)
所以a-b=2 ①
f'(x)=2ax+b 在-1点斜率k=-2a+b
该直线与直线x-3y=0垂直
那么-2a+b=3 ②
由 ① ②解得a=-5 b=-7那么f(x)=-5x²-7x
(2)f(x)=-5x²-7x在区间[m,m+1]上单调递增
首先f(x)是开口向下的抛物线，对称轴是x=-0.7
在区间(-∞,-0.7]上是递增的
[m,m+1]要在此区间内 那么m+1≤-0.7解出m≤-1.7

2.(1)由余弦定理
cosB=(a²+c²-b²)/2ac≥(2ac-b²)/2ac=1/2
又B∈(0,π) 所以B(0,π/3)
(2)y=(sin²B+cos²B+2sinBcosB)/(sinB+cosB)
=(sinB+cosB)²/(sinB+cosB)=sinB+cosB=√2sin(B+π/4)
0<B<=60
45<B+45<=105
所以sin(B+π/4)∈(√2/2,1]
所以y∈(1,√2]

3.f(x)=lnx+a(1-a)x²-2(1-a)x
定义域x>0
f'(x)=1/x+2a(1-a)x-2(1-a)=[1+2a(1-a)x²-2(1-a)x]/x
分子大于0的
讨论分母g(x)=2a(1-a)x²-2(1-a)x+1
a<0的 2a(1-a)<0 抛物线开口向下
Δ=4(1-a)²-8a(1-a)=12a²-16a+4=4(a-1)(3a+1)
①0>a≥-1/3的时候即Δ≤0的时候g(x)≤0恒成立所以f(x)为减函数
②a<-1/3的时候Δ>0方程有两个实数根x1，x2(x1<x2)
x1=2(1-a)-√(12a²-16a+4)/4a(1-a)=1/2a-√(3a²-4a+1)/2a(1-a)
x2=1/2a+√(3a²-4a+1)/2a(1-a)
f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上是减函数
f(x)在(x1,x2)上是增函数

4.(1)f(x)=x³-9x²/2+6x-a
f'(x)=3x²-9x+6大于m恒成立
f'(x)=3x²-9x+6的最小值是在对称轴x=3/2处
f'(x)min=3×9/4-9×3/2+6=-3/4
只要m不比f‘(x)的最小值大，不等式就是恒成立
所以m的最大值就是-3/4
(2)由题意g(x)=x³-9x²/2+6x=a只有一个实数根
g'(x)=3x²-9x+6=3(x-1)(x-2)
所以f(X)在(-∞,1)递增；至1点取极大值5/2
在(1，2)区间内递减；至2点取极小值2
在(2,+∞)一直递增
y=a代表的是平行于x轴的直线
粗略画出y=f(x)的图像可以看出
只有一个实数根的条件是a≥5/2或者a≤2

5.f(x)=2cos2x+sin²x=2cos2x+(1-cos2x)/2=3cos2x/2+1/2
cos2x=cos(π/6)=√3/2
所以原式=(3√3+2)/4

追问

第一题是ax↑3哦、

追答

我第三题的讨论有误
Δ=4(1-a)²-8a(1-a)=12a²-16a+4=4(a-1)(3a+1)
这里错了应该是Δ=4(1-a)²-8a(1-a)=12a²-16a+4=4(a-1)(3a-1)
然后a0的恒成立 然后直接按第二种情况讨论；第一种情况去掉啊

第四题 结果应该是a>5/2或者a<2 不能取等号的，，

第一题
(1)f(X)=ax³+bx²过点P(-1,2)
所以-a+b=2 ①
f'(x)=3ax²+2bx 在-1点斜率k=3a-2b
该直线与直线x-3y=0垂直
那么3a-2b=-3 ②
由 ① ②解得a=1 b=3那么f(x)=x³+3x²
(2)f(x)=x³+3x²在区间[m,m+1]上单调递增
f'(x)=3x²+6x=3x(x+2)
所以f(x)在区间(-∞,-2)和(0,+∞)上递增的
[m,m+1]要在此区间内
那么m+1≤-2或者m≥0
所以m的范围是m≤-3或者m≥0
刚才算错了，

Answer 2

学课堂学习的原则和基本方法

根据心理学的理论和数学的特点，分析数学课堂学习，应遵循以下原则：
动力性原则，循序渐进原则，独立思考原则，及时反馈原则，理论联系实际
的原则，并由此提出了以下的数学学习方法：
1.求教与自学相结合
在学习过程中，即要争取教师的指导和帮助，但是又不能处处依靠教师，
必须自己主动地去学习、去探索、去获取，应该在自己认真学习和研究的基
础上去寻求教师和同学的帮助。
2.学习与思考相结合
在学习过程中，对课本的内容要认真研究，提出疑问，追本究源。对每
一个概念、公式、定理都要弄清其来龙去脉、前因后果、内在联系，以及蕴
含于推导过程中的数学思想和方法。在解决问题时，要尽量采用不同的途径
和方法，要克服那种死守书本、机械呆板、不知变通的学习方法。
3.学用结合，勤于实践
在学习过程中，要准确地掌握抽象概念的本质含义，了解从实际模型中
抽象为理论的演变过程。对所学理论知识，要在更大范围内寻求它的具体实
例，使之具体化，尽量将所学的理论知识和思维方法应用于实践。
4.博观约取，由博返约
课本是学生获得知识的主要来源，但不是唯一的来源。在学习过程中，
除了认真研究课本以外，还要阅读有关的课外资料，来扩大知识领域。同时
在广泛阅读的基础上，进行认真研究，掌握其知识结构。
5.既有模仿，又有创新
模仿是数学学习中不可缺少的学习方法，但是决不能机械地模仿，应该
在消化理解的基础上，开动脑筋，提出自己的见解和看法，而不拘泥于已有
的框框，不囿于现成的模式。
6.及时复习增强记忆
课堂上学习的内容，必须当天消化，要先复习，后做练习，复习工作必
须经常进行，每一单元结束后，应将所学知识进行概括整理，使之系统化、
深刻化。
7.总结学习经验，评价学习效果
学习中的总结和评价，是学习的继续和提高，它有利于知识体系的建立、
解题规律的掌握、学习方法与态度的调整和评判能力的提高。在学习过程中，
应注意总结听课、阅读和解题中的收获和体会。更深一步，是涉及到具体内容的学习方法。如，怎样学习数学概念、数
学公式、法则、数学定理、数学语言；怎样提高抽象概括能力、运算能力、
逻辑思维能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力；怎样解数学题；
怎样克服学习中的差错；怎样获取学习的反馈信息；怎样进行解题过程的评
价与总结；怎样准备考试。对这些问题的进一步的研究和探索将更有利于中
学生对数学的学习。
历史上许多优秀的教育家、科学家，他们都有一套适合自己特点的学习
方法。比如，我国古代数学家祖冲之的学习方法概括起来是四个字：搜炼古
今。搜就是搜索，博采前人的成就，广泛地研究；炼是提炼，把各种主张拿
来比较研究，再经过自己的消化和提炼。著名的物理学家爱因斯坦的学习经验是：依靠自学，注意自主，穷根究底，大胆想象，力求理解，重视实验，
弄通数学，研究哲学等八个方面。如果我们能将这些教育家、科学家的更多
的学习经验挖掘整理出来，将是一批非常宝贵的财富，这也是学习方法研究
中的一个重要方面。
学习方法这一问题虽已为广大的教育工作者所重视，并且提出了不少好
的学习方法。但是由于长期以来“以教代学”的影响，大部分学生对自己的
学习方法是否良好还没有引起注意。许多学生还没有根据自己的特点形成适
合自己的有效的学习方法。因此作为一个自觉的学生，就必须在学习知识的
同时，掌握科学的学习方法。1.阅读课文
这是预习以下几个步骤的基础（参看后面介绍的各种阅读方法）。
2.亲自推导公式
数学课程中有大量的公式，有的课本上有推导过程；有的课本上没有推
导过程，只是把公式的最初形式写出来，然后......

Answer 3

第一题有误，请纠正，发到补充里，不要追问

2、(1)由余弦定理有b²=a²+c²-2ac*cosB，将已知条件b²=ac代入得
a²+c²=2ac*cosB+ac
又由均值不等式样a²+c²≥2ac，所以
2ac*cosB+ac≥2ac，
化简得cosB≥1/2，
所以0＜B≤π/3；
(2)y=(1+sin2B)/(sinB+cosB)=(1+2sinBcosB)/(sinB+cosB)=(sinB+cosB)²/(sinB+cosB)=sinB+cosB。

3、f(x)的定义域为x>0，对f(x)求导得
f'(x)=(1/x)+2a(1-a)x-2(1-a)=[2a(1-a)x²-2(1-a)x+1]/x
记g(x)=2a(1-a)x²-2(1-a)x+1，则f'(x)=g(x)/x，因为x>0，所以讨论原函数的增减性只须讨论g(x)的正负即可。
因为a<0，所以g(x)=2a(1-a)x²-2(1-a)x+1为二次函数，开口向下，其判别式△=[-2(1-a)]²-4*2a(1-a)=4(1-a)(1-3a)>0，所以g(x)=0有两根x1、x2，由韦达定理有
x1x2=1/[2a(1-a)]，
可看出x1x2<0，所以两根一正一负，而定义域为x>0，所以
g(x)=0在定义域内只有一个根x={(1-a)+√[(1-a)(1-3a)]}/[2a(1-a)]
所以在0<x≤{(1-a)+√[(1-a)(1-3a)]}/[2a(1-a)]上，g(x)≥0，f'(x)≥0，f(x)为增函数；
同理，在x≥{(1-a)+√[(1-a)(1-3a)]}/[2a(1-a)]上，g(x)≤0，f'(x)≤0，f(x)为减函数。

4、对f(x)求导得f'(x)=3x²-9x+6=3(x-1)(x-2)
(1)因为m≤f'(x)恒成立，所以m≤f'(x)min=f'(3/2)= 3*(3/2)²-9*(3/2)+6= -3/4
所以m的最大值为-3/4；
(2)令f'(x)≥0以求f(x)的增区间得x≤1或x≥2；
令f'(x)≤0以求f(x)的减区间得1≤x≤2。
所以f(x)的极大值为f(1)=(5/2)-a；极小值为f(2)=2-a
若方程f(x)=0有且仅有一个实根，只有f(x)的极大值大于0或极小值小于0，所以
(5/2)-a>0或2-a<0，解得a的取值范围为
a>2或a<5/2。

5、运用半角公式得
f(x)=2cos2x+sin²x=2cos2x+(1/2)(1-cos2x)=(1+3cos2x)/2
所以f(π/12)=[1+3cos(2*π/12)]/2=[1+3cos(π/6)]/2=(2+3√3)/4。

Answer 4

2、(1)由余弦定理有b²=a²+c²-2ac*cosB，将已知条件b²=ac代入得
a²+c²=2ac*cosB+ac
又由均值不等式样a²+c²≥2ac，所以
2ac*cosB+ac≥2ac，
化简得cosB≥1/2，
所以0＜B≤π/3；
(2)y=(1+sin2B)/(sinB+cosB)=(1+2sinBcosB)/(sinB+cosB)=(sinB+cosB)²/(sinB+cosB)=sinB+cosB。

3、f(x)的定义域为x>0，对f(x)求导得
f'(x)=(1/x)+2a(1-a)x-2(1-a)=[2a(1-a)x²-2(1-a)x+1]/x
记g(x)=2a(1-a)x²-2(1-a)x+1，则f'(x)=g(x)/x，因为x>0，所以讨论原函数的增减性只须讨论g(x)的正负即可。
因为a<0，所以g(x)=2a(1-a)x²-2(1-a)x+1为二次函数，开口向下，其判别式△=[-2(1-a)]²-4*2a(1-a)=4(1-a)(1-3a)>0，所以g(x)=0有两根x1、x2，由韦达定理有
x1x2=1/[2a(1-a)]，
可看出x1x2<0，所以两根一正一负，而定义域为x>0，所以
g(x)=0在定义域内只有一个根x={(1-a)+√[(1-a)(1-3a)]}/[2a(1-a)]
所以在0<x≤{(1-a)+√[(1-a)(1-3a)]}/[2a(1-a)]上，g(x)≥0，f'(x)≥0，f(x)为增函数；
同理，在x≥{(1-a)+√[(1-a)(1-3a)]}/[2a(1-a)]上，g(x)≤0，f'(x)≤0，f(x)为减函数。

4、对f(x)求导得f'(x)=3x²-9x+6=3(x-1)(x-2)
(1)因为m≤f'(x)恒成立，所以m≤f'(x)min=f'(3/2)= 3*(3/2)²-9*(3/2)+6= -3/4
所以m的最大值为-3/4；
(2)令f'(x)≥0以求f(x)的增区间得x≤1或x≥2；
令f'(x)≤0以求f(x)的减区间得1≤x≤2。
所以f(x)的极大值为f(1)=(5/2)-a；极小值为f(2)=2-a
若方程f(x)=0有且仅有一个实根，只有f(x)的极大值大于0或极小值小于0，所以
(5/2)-a>0或2-a<0，解得a的取值范围为
a>2或a<5/2。

5、f(x)=2cos2x+sin²x=2cos2x+(1/2)(1-cos2x)=(1+3cos2x)/2
所以f(π/12)=[1+3cos(2*π/12)]/2=[1+3cos(π/6)]/2=(2+3√3)/4。

Answer 5

第五题。f(x)=2cos2x+(1-cos2x)/2
=1/2+3/2cos2x
则f(π/12)=1/2+3/2cos(π/6)
=(2+3根号下3）/4
请问，第一题是不是抄错了？

追问

没错 = =