Question

在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边经过点C

另一角边AB交于点E，我们知道，结论Rt△AEP∽Rt△DPC成立。（1）：当∠CPD=30°时，求AE的长（2）：是否存在这样的点P，使△DPC周长等于△AEP周长的2倍？求出DP的长

Answer 1

1. 10√3 -12，用勾股定理便知，不多解释了
2. 设AP=x，则PD=10-x，PC=√[4²+（10-x）²]，AE=4（10-x）/x（用相似三角形的性质得出）
PE=√{x²+[4（10-x）/x]²}
则△PDC周长=（10-x）+4+√[4²+（10-x）²] （1）
△APE周长=x+4（10-x）/x +√{x²+[4（10-x）/x]²} （2）
（1）式等于（2）式的2倍，然后计算x就行了，计算麻烦，自己算吧

Answer 2

解：（1）∵∠CPD=90°-∠APE=∠AEP，
∴当∠CPD=30°时，∠AEP=30°．
在Rt△CPD中，CD=AB=4，∠CPD=30°，因此PD=CD•cos30°=43，
∴AP=AD-PD=10-43．
在Rt△APE中，AP=10-43，∠AEP=30°，因此AE=AP•cot30°=103-12．

（2）假设存在这样的点P，∵Rt△AEP∽Rt△DPC，
∴CDAP=PDAE=PCPE=2．
∵CD=AB=4，∴AP=2，PD=8，
∴存在这样的P点，且DP长为8．