Question

设各项都为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=1/2(an+1/an) （1）求an的通项公式

用三种方法

Answer 1

【解法一】
Sn=1/2(an+1/an)
S(n-1)=Sn-an=1/2(1/an-an)
Sn+S(n-1)=1/an
Sn-S(n-1)=an
上面两式相乘得：
Sn^2-S(n-1)^2=1
S1=a1=1/2(a1+1/a1),a1=1

{Sn^2}是首项为S1^2=1,公差为1的等差数列
Sn^2=n
Sn=√n
an=Sn-S(n-1)=√n-√(n-1)

【解法二】
两边同乘2an 2anSn=an²+1
2（Sn-Sn-1）Sn=（Sn-Sn-1）²+1
（Sn-Sn-1）【2Sn-（Sn-Sn-1）】=1
Sn²-Sn-1²=1
a1=Sn=1
Sn²=n
an=Sn-Sn-1=√n-√（n-1)

【解法三】数学归纳法
(1)S[1]=a[1]=1/2(a[1]+1/a[1]),于是：a[1]=1=√1-√0
S[2]=a[2]+1=1/2(a[2]+1/a[2]),于是：a[2]=√2-1,S[2]=√2
S[3]=a[3]+√2=1/2(a[3]+1/a[3]),于是：a[3]=√3-√2,S[3]=√3
S[4]=a[4]+√3=1/2(a[4]+1/a[4]),于是：a[4]=√4-√3
于是可以猜想：a[n]=√n-√(n-1);
(2)显然：n=1时成立，假设n=k时，a[k]=√k-√(k-1)，S[k]=√k
n=k+1时，S[k+1]=a[k+1]+S[k]=a[k+1]+√k=1/2(a[k+1]+1/a[k+1]),
于是：a[k+1]=√(k+1)-√k
即：n=k+1时也成立
综上：a[n]=√n-√(n-1)对于n∈N成立.