Question

已知1/3≤a≤1,若函数f(x)=ax^2-2x+1,在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M(a)-N(a)

求g(a)的函数表达式

Answer 1

因为1/3≤a≤1 所以f(x)=ax^2-2x+1=a（x-1/a）^2+1-1/a
所以当x=1/a时 f(x）最小 而x的取值正好在1/a的区间中 所以最小值为N(a)=1-1/a
因为f(1)=a-1 f(3)=9a-5 f(1)-f(3)=4-8a
所以当 1/3≤a≤1/2 时 最大值为M(a)=a-1
所以当 1/2≤a≤1 时 最大值为M(a)=9a-5
所以当 1/3≤a≤1/2 时 g(a)=M(a)-N(a)=a+1/a-2
所以当 1/2≤a≤1 时 g(a)=M(a)-N(a)=9a+1/a-6

Answer 2

f(x)=a(x-1/a)^2-1/a+1,其对称轴是x=1/a，而1/3≤a≤1，有1≤1/a≤3。所以在区间[1,3]上，函数能取到最小值-1/a+1，即当x=1/a时取得，即有N(a)=-1/a+1，而最大值M(a)则在端点1或3处取得，f(1)=a-1，f(3)=9a-5。讨论：
当f(1)≥f(3)时，即a-1≥9a-5,a≤1/2，亦即1/3≤a≤1/2时，M(a)=f(1)=a-1，此时，g(a)=M(a)-N(a)=a-1-(-1/a+1)=a+1/a-2；
当f(1)<f(3)时，即a>1/2，亦即1/2<a≤1时，M(a)=f(3)=9a-5，此时g(a)=9a+1/a-6.
综上所述，当1/3≤a≤1/2时，g(a)=a+1/a-2；当1/2<a≤1时，g(a)=9a+1/a-6.