Question

请高手帮忙解答一下这道题，要详解，答对必采纳，谢谢！

Answer 1

答案是0

【解析】奇偶对称性。

积分曲线关于y轴对称，
被积函数f(x，y)=xy²满足
f(-x，y)=-f(x，y)
对x而言是奇函数，
所以，积分为0

【附注】
填空题很多都是奇思妙解的，
不需要太多过程。

追问

但是曲线应该有积分方向吧，那这样的话也对称吗？

追答

第一类曲线积分，
哪有方向

追问

那个奇偶性不用先把y换成x再看，望解答一下，

追答

我有强迫症，
能用奇偶性我绝不用其它方法。
再说，不用奇偶对称性，
那要算四个曲线积分，
我就算第一象限内的吧，
第一象限内，
曲线方程为x+y=1/2
∴x=1/2-y
∫[L]xy²dx
=∫[0~1/2](1/2-y)y²·√(1+1)·dy
=√2·∫[0~1/2](y²/2-y³)·dy
=√2·(1/48-1/64)
=√2/192
其余象限内类似可求。

追问

OK👌