Question

近世代数的一道题，求解

已经知道在一个同态映射下，一个元素的阶不等于其象的阶，但是如果这个同态映射是单射，元素的阶是否与其象的阶相等，即是否保持元素的阶

Answer 1

你问的问题不够具体，所以我也只能按照我的理解给你一个回答，我想应该对你有帮助。我们就考虑有限群的范畴。
首先：
比如G.然后再给一个同态f(单的).我们把G通过f作用后得到的群记为G'。
那这样f就是G到G'的一个同态是吧？并且f很自然就是满的。所以，f既单又满，那就是同构。同构意义下元素的像和原像阶一致。
更一般的：

假设G和另一个群K存在同态g(单的). 此时g(G)是K的子群. 现在按照上面的例子来看G到g(G)时,g肯定是满的，所以g在G到g(G)中是同构。自然的认为在g的意义下，可以理解G作为K的子群。
所以在群的意义下，对任一群G，K.存在一单同态f。f作用G到K中。意味着这个G可以在K中找到一个子群f(G)。使得G通过g作用到f(G)时，g是一个同构。自然的有像和原像阶一致。
上面这两个解释，应该对你思考有所助。