Question

一个高中必修一数学问题

若函数y﹦f﹙x﹚的值域为[½，3]，则函数F﹙x﹚＝f﹙x﹚＋1／f﹙x﹚的值域是﹙﹚
A.[½,3] B.[2,10／3]
C.[5／2，IO／3] D.[3，IO／3]
答案选B

解析∶令t＝f﹙x﹚,由于函数y＝f﹙x﹚的值域为[½，3]，即½≤t≤3,从而y＝f﹙x﹚＋1／f﹙x﹚＝t＋1／t,所以当t∈[½,1]时，y＝t＋1／t为关于t的减函数﹔而当t∈[1,3]时，y＝t＋1／t为关于t的增函数。所以当t＝1时，y有最小值2，而又因为当t＝3时，y有最大值为10／3，故选B.

“当t∈[½,1]时，y＝t＋1／t为关于t的减函数﹔而当t∈[1,3]时，y＝t＋1／t为关于t的增函数。”我不理解，谁能解答下，谢谢了。

Answer 1

这个对于刚学习函数的高中生确实有点困惑
你可以用定义证明
但是可以教你一个理解的方法，考虑t＞0的情况，在t很小（比0.5小很多）的时候，y会取到很大的值，在t很大的时候，y会取到很大的值，而在t=1附近，y的值很小，在t=1出最小。另外，y的图像是一个平滑的曲线，你可以画出来，想一个勾号
由不等式里的均值不等式可以知道，t为1是y最小。不等式内容是高中数学的一个重点和难点

Answer 2

一阶求导，得到的函数在定义域内取值是正的，所以是增函数；反之，则为减函数。

Answer 3

形如y=X+1/X的形式的函数，称为“对号（钩）函数”，它在第一象限的图像很像对号，至于为什么分界点是1，当X=1/X时，即X=1,你可以大致画一下他的图像，这个函数很重要，要记住，如果y=X+a/X,其中a是个正数，则分界点是a开根号。。。。理解就给分吧，，，

追问

理解了，谢谢。但是还是想你举个具体的例子加强理解，谢谢了。因为在学校没认真听，知道对勾函数很重要，但也没记笔记。

Answer 4

均值不等式——a^2+b^2>=2ab
当t=1/t=1时，
t+1/t取最小值
补充说明：
当t<0时，
f(-t)=-f(t) ；
即f(t)为奇函数。

追问

似乎与这个题没好大关联？还是给我说说对勾函数模型，我想了解。谢谢，如果能解答我会加分的。

Answer 5

这是一个对号函数