Question

请问高数题 设f(x)在(-∞,+∞)内连续,F(x)=∫(上限x,下限0) (2t-x)f(t)dt. 求证:有相同单调性！谢谢！！

我看到你回答的类似的试问这道题奇偶的 所以来问问你！

Answer 1

F(x)=∫(上限x,下限0) (2t-x)f(t)dt = ∫(上限x,下限0) 2t f(t) dt - x * ∫(上限x,下限0) f(t) dt
F ' (x) = 2x f(x) - ∫(上限x,下限0) f(t) dt - x f(x) = x f(x) - ∫(上限x,下限0) f(t) dt
= x f(x) - x * f(ξ) = x * ( f(x) - f(ξ) ), ξ 介于 0 和 x之间。 定积分中值定理
当 f(x) 单增时，x<0, x< ξ < 0 , f(x) < f(ξ), x * ( f(x) - f(ξ) ) > 0
x>0, 0< ξ < x , f(ξ) < f(x) , x * ( f(x) - f(ξ) ) > 0
总有 F ' (x) > 0 => F(x)单增；
当 f(x) 单减时，F ' (x) < 0 => F(x)单减。