Question

当x→0时，下列函数中哪些是x的高阶无穷小量？哪些是x的同阶无穷小量？哪些x的低阶无穷小量？

1.x+tan2x
2.1-cosx
3.2/πcosπ/2(1-x)
我要的只是步骤，麻烦大家写详细一点，谢谢啦 o(∩_∩)o

Answer 1

当x→0时， x的高阶无穷小量 1-cosx ~ x^2 /2
Limit [ (1-cosx) / x , x->0] = Limit [ 2 sin(x/2)^2 / x , x->0]
= Limit [ 2 *(x/2)^2 / x , x->0] = 0
当x→0时，x的同阶无穷小量 x+tan2x ~ 3x
Limit [ (x + tan2x ) / x , x->0] = Limit [ 3x / x, x->0] = 3
当x→0时，x的等价无穷小量 2/πcosπ/2(1-x) = （2/π）sin(πx /2)
Limit [ （2/π）sin(πx /2) / x , x->0] = Limit [ x / x, x->0] = 1

没有 x 的低阶无穷小量。

追问

当x→0时，x的同阶无穷小量 x+tan2x ~ 3x
当x→0时，x的等价无穷小量 2/πcosπ/2(1-x) = （2/π）sin(πx /2)

这两个步骤怎么得到的呢

追答

等价无穷小应该学过吧？
1. x->0时， sinx ~ x， tanx ~ x，
Limit [ (x+tan(2x) )/ (3x) , x->0 ] = 1
2. cos(π/2 - A) = sinA, cos [π/2(1-x)] = sin (π x /2))
x->0时， sin (π x /2)) ~ π x /2 ,
（2/π）sin(πx /2) ~ x

追问

拜托，（sinx+tan2x）的形式貌似不可以这样转换吧，教材上还提醒了不能这样的解法错误的....
下面那题题目应该是（2/π）（cosπ/2）（1-x），不好意思……

追答

（sinx+tan2x）/x = sinx /x + tan2x /x ,
当x→0时， sinx /x -> 1, tan2x /x -> 2, （sinx+tan2x）/x -> 3
当x→0时，(sinx - tanx ) / (x^3) 这样的分子不能换成 x-x=0 ！
cos(π/2) = 0
f(x) =（2/π）(cosπ/2）(1-x）= 0
=》 Limit [ f(x) / x , x->0] = 0
当x→0时，f(x) 是 x 的高阶无穷小量。

追问

我也这样想过，但是这样会不会也太简单了，标准答案貌似是等价啊 ........和你讨论很有意思哎，只是可惜继续追问要消耗财富了，能不能请你百度Hi或者QQ私聊

追答

如果答案是等价，那么肯定是 (2/π) cos [π/2(1-x)] ~ x 。

Answer 2

1.x+tan2x=x+2x+o(x) 同阶
2.1-cosx=1-(1-x²/2+o(x²) )=x²/2+o(x²) 高阶
3.cosπ/2(1-x)=cos(π/2-π/2*x)=sinπ/2*x=π/2*x+o(x) 同阶
o(x)表示x的高阶无穷小量略去