Question

已知抛物线y=x²+（1-2a）x+a²（a≠0）与x轴交于两点A（x1,0）,B(x2,0)（x1≠x2）

（1）求a的取值范围，并证明A,B两点都在原点O的左侧
（2）若抛物线与y轴交于点C，且OA+OB=OC-2,求a的值

Answer 1

(1) 已知抛物线y=x²+（1-2a）x+a²（a≠0）与x轴交于两点A（x1,0）,B(x2,0)（
则x²+（1-2a）x+a²=0有两个不等的实根
所以判别式=(1-2a)²-4a²>0
1-4a>0
解得a<1/4
由韦达定理x1+x2=2a-1<2*(1/4)-1=-1/2<0
x1*x2=-4a²<-4*(1/4)²=-1/4<0
所以x1<0 x2<0
故A,B两点都在原点O的左侧
(2) 当x=0时，y=a² 即C(0, a²)
则OC=a² OA+OB=Ix1I+Ix2I=-(x1+x2)=-(2a-1)=1-2a
已知OA+OB=OC-2
所以1-2a=a²-2
a²+2a-3=0 (a+3)(a-1)=0
解得a=-3或1
希望能帮到你O(∩_∩)O

Answer 2

(1) 已知抛物线y=x²+（1-2a）x+a²（a≠0）与x轴交于两点A（x1,0）,B(x2,0)（
则x²+（1-2a）x+a²=0有两个不等的实根
所以判别式=(1-2a)²-4a²>0
1-4a>0
解得a<1/4
由韦达定理x1+x2=2a-1<2*(1/4)-1=-1/2<0
x1*x2=-4a²<-4*(1/4)²=-1/4<0
所以x1<0 x2<0
故A,B两点都在原点O的左侧
(2) 当x=0时，y=a² 即C(0, a²)
则OC=a² OA+OB=Ix1I+Ix2I=-(x1+x2)=-(2a-1)=1-2a
已知OA+OB=OC-2
所以1-2a=a²-2
a²+2a-3=0 (a+3)(a-1)=0
解得a=-3或1
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Answer 3

1