Question

已知RT△ABC中,∠ACB=90°,∠MCN=45°

（1）如图①，当M,N在AB上时，求证MN²=AM²+BN²
（2）如图②，将∠MCN绕C点旋转，当M在BA的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

Answer 1

本题存在问题，需补充条件：AC=BC。（即三角形ABC为等腰直角形三角形）

(1)证明:作∠BCD=∠ACM,并且CD=CM,则:∠BCD+∠BCM=∠ACM+∠BCM=90°.

又AC=CB,则:⊿BCD≌ΔACM(SAS),BD=AM;∠CBD=∠A=45°.

∠MCN=45°,∠MCD=90°,则:∠DCN=∠MCN=45°;又CN=CN.则⊿MCN≌ΔDCN,DN=MN;

∵∠NDB=∠CBD+∠ABC=90°.

∴DN^2=DB^2+BN^2,即:MN^2=AM^2+BN^2.

(2)当点M在BA延长线上时,(1)中的结论还成立.

证明:作∠BCD=∠ACM,使CD=CM,则:∠ACD+∠ACM=∠BCM+∠ACM=90°.

又AC=CB,则:⊿BCD≌ΔACM(SAS),BD=AM;∠CBD=∠CAM=135°,∠DBN=90°;

∠MCN=45°,∠MCD=90°,则:∠DCN=∠MCN=45°;又CN=CN.则⊿MCN≌ΔDCN,DN=MN;

∵∠DBN=90°.

∴DN^2=DB^2+BN^2,即:MN^2=AM^2+BN^2.

追问

题绝对没有问题，你给的条件我曾经也自行添加过，做出来很简单。但是老师说没有这个条件

追答

如果题绝对没问题,则本题无解!
或许是你没抄错题,只是印错了.