Question

若命题“存在a属于[1,3],使ax^2+(a-2)x-2>0 为真命题,则实数x的取值范围是

Answer 1

注意本题中的变量是a
ax²+(a-2)x-2=a(x²+x)-2x-2
令f(a)=a(x²+x)-2x-2
存在a属于[1,3],f(a)>0
只需f(a)的最大值>0
由于f(a)的最大值只能是f(1)或f(3)
故有f(1)>0或f(3)>0
即(x²+x)-2x-2>0或3(x²+x)-2x-2>0
解得(x>2或x<-1)或(x>2/3或x<-1)
取并集得实数x的取值范围是x>2/3或x<-1

Answer 2

ax^2+(a-2)x-2>0
(ax-2)(x+1)>0
已知a属于[1,3], 2/3≤2/a≤2
上式变为(x-2/a)(x+1)>0
解得x<-1或x>2/a≥2/3
所以实数x的取值范围是(-∞, -1)∪[2/3, +∞)
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