Question

三重积分，算Z=√X^2+Y^2与Z=X^2+Y^2围成的体积。我先用截面算出外面旋转体的体积，再减去中间锥体体积

为什么算的答案不对呢。外面旋转体的体积不能用截面算吗？如果用截面算，那么截面的面积怎样表达呢？

Answer 1

1. 柱坐标系很简单。

2. 外面旋转体的体积 V1 = π ∫ (√z)^2 dz = π /2     这是定积分，积分限【0,1】

  中间锥体体积 V2 = π /3

    所求体积 V = V1 - V2 = π /6

3. 截面法求三重积分也可以。

图片是方法1.  见同济大学6版教材 10.3（12题）

追问

我知道柱坐标简单，但是自己的方法做的不对，肯定是什么地方弄错了。。就是说，抛物线旋转的截面，因为X^2+Y^2=Z^2所以Z^2就是R^2,所以用π*Z是吗？

追答

是的， X^2+Y^2=Z => R^2 = z , 截面面积 Sz = π*Z
我还以为你是选用方法2，定积分“旋转体的体积”来做。

追问

还有，还有。。说是三重积分可以根据对称性简化。那个“f关于X为奇函数”代表了什么？是不是把表达式里的X换成负的，然后得出的是-f ？积分区域关于X对称是指那个密闭空间关于ZOY面对称吗？谢谢，泪奔了

追答

f关于X为奇函数, 即 f( -x,y,z) = - f(x,y,z);
积分区域关于X对称, 是指那个封闭空间关于ZOY面对称.
你说的是对的。

Answer 2

我估计你算错了，体积相减是可以的