Question

一道数学题，在线等，答得好加分，在线等................急急急急急急

亲爱的高手们：
今天数学课上老师讲了一个公式：AB=根号下（X2-X1）^2+(Y2-Y1)^2,如图一。
然后出了一道题：求y=根号下[X^2-4X+8 ] +根号下[X^2+6X+10]，问题一：求Y的最小值 ？ 问题二：怎样和老师教的公式联系起来？
老师是这样解：将y=根号下[X^2-4X+8 ] +根号下[X^2+6X+10]，转化为→y=根号下[(x-2)^2+(0-2)^2]+根号下[(x+3)^2+(0-1)^2] 运用配方法，这我知道。
然后设：P（X，0），A（2,2）B（-3,1）∴y=PA+PB　如图二　　这一步就不理解了。问题三：注：（老师还说写成（0－2）＾2与（0－1）＾2对后面有好处，说是方便看坐标。解释一下。为啥不写（2－0）＾2　？？）问题四：我知道两点之间线段最短，但A点，B点，P点，从哪冒出来的？能用简单的话解释吗？最后写了个　　“　≥A＇B＝根号下34”这是啥意思？过程谢谢！注：（其中【】表示根号下是一个整体）我是真心相问，请高手们回答一下解我心中疑惑！甚是感谢！！！！！！！！！！！！！
图

Answer 1

图呢……

追问

问题补充

追答

这样的， 两点之间的距离 就是 对应坐标差的平方和的开放。
比如 点(x1,y1),(x2,y2)之间的距离就是 L=根号下[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2] 所以
你拿到的y 通过配方 得到 y=根号下[(x-2)^2+(0-2)^2]+根号下[(x+3)^2+(0-1)^2]
也就是表示点(x,0)与 (2,2)的距离 也就是PA ，同理那个就是PB

如果写成（2-0）^2 那么表示 点 (x,2)与(2,0)之间的距离，这样就无法联系到题目的已知条件，即A点P点都用不上了，所以要写成（0-2）^2

这是一种方法，数形结合。 把代数问题转化成几何问题，更加直观，更加简单。
A，B，P都是为了画图直观而表示出来的。 这道题目就是把代数上面最小值问题转化成几何的两点间线段最短的问题。

追问

两点之间的距离公式知道了，但怎样通过配方下来的 y=根号下[(x-2)^2+(0-2)^2]+根号下[(x+3)^2+(0-1)^2] 观察到这两个点的距离，通俗易懂的。问题图中是三个点，这个公式能整出两个点的坐标啊？谢谢

追答

两个根号，一个代表PA，一个代表PB，最后要求的结果是ＰＡ＋ＰＢ，　我没看懂你问的是什么意思

追问

最后一问：原先的公式是求AB=根号下（X2-X1）^2+(Y2-Y1)^2，可题目中有两个根号，您说第一个根号:根号下[(x-2)^2+(0-2)^2]代表PA的长，那么P的坐标为（X，0），A的坐标为（2,2）这个我看懂了，但第二个根号：根号下[(x+3)^2+(0-1)^2] 代表PB的长，则P的坐标为（X，0），但B的坐标为（3，1）。但老师说B的坐标为（-3,1）。这怎样解释？还有怎样算A'B 的长度？好像为根号下34。我们全班都没听懂！希望我是第一个听懂的谢谢

追答

你说的(3,1)是不对的， 你老师说的(-3,1)是对的， 因为 根号下[(x+3)^2+(0-1)^2]
你再看看两点间距离公式 看看 括号里面是减号 所以[(x+3)^2+(0-1)^2] =[(x-负3)^2+(0-1)^2]
关于A' ， 由于AP=A'P 所以 PA+PB 的最小值就是A'B

Answer 2

这道题可以看成x轴上一点P，到A点和B点的距离最短。A(2,2),B(-3,1)。P点坐标（X,0)。
这样的话，取A或B关于x轴的对称点O(2,-2)，OB的长度就是y的最小距离根号34。OB与x轴的交点就是P

追问

好像不是OB把，是A‘B的长度怎样算?谢谢！

Answer 3

问题一和问题二，从你的老师公式提示，y的等式要通过配方法等价转换成和”公式“形状一样，转换后可以发现y是坐标上两段线段的之和。

问题三先解决吧，和问题一二比较密切，如果按你的想法写错成这样：y=根号下[(x-2)^2+(2-0)^2]+根号下[(x+3)^2+(0-1)^2]，那么y=DE+FG，备注D（x，2）和E（2，0）的距离DE，以及F（x，0）和G（-3，1）的距离FG，你在坐标系上画画看D、E、F、G这四点，你会发现问题没有简化，没有达到消”元“的目的（D点和F点是不同的”整体未知数“）。

之所以写成y=根号下[(x-2)^2+(0-2)^2]+根号下[(x+3)^2+(0-1)^2]，你再看以上DEFG四个点，会发现D点和F点是一样的P（x，0），这样我们就只剩下一个”整体未知数“。

P（x，0）我们可以知道p点是在x轴上，这样问题就转化成”在x轴上找到一点P，到A点(2,2)和B点(-3,1)的距离最短“。。。。想象一下物理的镜面反射A的虚像A'（2，-2），A’和A关于X轴对称，所以PA=PA’，y=BP+PA=BP+PA‘=BA'，两点之间线段最短，因此当BA'为线段的时候y最小，连接BA’交于镜面X轴，得到折射点P‘，然后套用你老师的公式算出BA‘=根号下34

Answer 4

ls都没错。1、老师的第一个公式是两点距离公式
2、打个比方，[X^2-4X+8 ]式的值就是，x轴上一点到点（2,2）的距离，也就是A点
3、y=根号下[X^2-4X+8 ] +根号下[X^2+6X+10]这个方程整体就是求解一个在x轴上的一个点，到A，B两点的距离和最短
4、求3等价于求B，P，A‘的距离，两点间直线距离最短