Question

线性代数问题，急

已知二次型f(x1,x2,x3)=x^TAx在正交变换x=Qy下的标准型为y1^2+y2^2,且Q的第三列为（√2/2,0,√2/2）^T.
求矩阵A
答案给的是因为二次型的标准型为y1^2+y2^2，所以A的特征值为1,1,0.又因为Q的第3列是（√2/2,0,√2/2）^T，说明a3=(1,0,1)^T.是矩阵A关于特征值0的特征向量。
我的问题是a3=(1,0,1)^T为什么是矩阵A关于特征值0的特征向量，a3=(1,0,1)^T咋求的？

Answer 1

二次型f(x1,x2,x3)=x^TAx在正交变换x=Qy下的标准型为y1^2+y2^2

则 A 的特征值为 1,1,0
对应的特征向量即Q的列向量
所以 第3列 （√2/2,0,√2/2）^T 是 属于特征值0的特征向量
又因为 特征向量的非零倍数 或 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是对应特征值的特征向量, 所以 (2/√2) （√2/2,0,√2/2）^T = (1,0,1)^T 仍是A的属于特征值0的特征向量.
这样转换一下是为了简化后续计算

追问

第3列 （√2/2,0,√2/2）^T 是 属于特征值0的特征向量
,那为什么不是1的特征向量

追答

不是
在正交变换x=Qy下的标准型为y1^2+y2^2 +0y3^2
特征值的顺序是 1,1,0
对应的特征向量即Q的列向量, 是按特征值对应的

Answer 2

Q的第三列为（√2/2,0,√2/2）^T 所以（√2/2,0,√2/2）^T是A关于0的特征向量
（1,0,1）^T=（√2/2,0,√2/2）^T / (√2/2) 自然也是A关于0的特征向量

追问

第3列 （√2/2,0,√2/2）^T 是 属于特征值0的特征向量
,那为什么不是1的特征向量

追答

......这个就不好解释了 建议你好好看书吧