Question

已知函数f(x)=-根号3sin^2x+sinxcosx。（1）求函数f(x)的最小正周期（2）求函数f(x)在（0，π/2）上的值域

Answer 1

分析: 将函数变成只含一个三角函数

解: f(x) = -√3sin²x + sinx cosx
= -√3 × (1 - cos(2x))/2 + (sin(2x))/2 (利用二倍角公式)
= -√3/2 + (√3/2)cos(2x) + (1/2)sin(2x)
= -√3/2 + sin(π/3) cos(2x) + cos(π/3) sin(2x)
= -√3/2 + sin(π/3 + 2x) (利用两角和的正弦公式)

(1) 周期 = 2π / 2 = π (T = 2π / w)
(2) ∵ 0 < x < π/2
∴ π/3 < π/3 + 2x < π + π/3
∴ -√3/2 < sin(π/3 + 2x) ≦ 1 (利用单位圆便很容易得到)
得 -√3 < -√3/2 + sin(π/3 + 2x) ≦ -√3/2 + 1
即 -√3 < y ≦ -√3/2 + 1
∴函数在（0，π/2）上的值域为 (-√3, -√3/2 + 1]

注意：在(2)中, 小心留意区间的开与闭的地方.
从上面得知： π/3 < π/3 + 2x < π + π/3
当π/3 + 2x = π/2 时, (在上面的范围内), 所以区间包含最大值-√3/2 + 1
当π/3 + 2x = π + π/3 时, (不在上面的范围内), 所以区间不包含最小值-√3