Question

求助线性代数的题目，望高手指点一下

已知a1,a2,a3,a4,是4维非0向量，记（a1,a2,a3,a4），A*是A的伴随矩阵，若齐次线性方程组AX=0的基础解系是(1,0,-2,0)T,则(A*)x=0的基础解系是（）
A.a1,a2
B.a1,a3
c.a1,a2,a3
Da2,a3,a4;

麻烦您一下，详细解答一下，
我的理解是应该是选择 B:
R(s)=4-R(A)=>R(A)=3=>|A|=0;
A(A*)=(A*)A=|A|E=0;
=>A*的解系应该是A的列向量;
(A*)Ax=A(A*)x=0
=>Ax为(A*)x=0的解，疑问的是，他们应该是同解的吧？

怎么样求出正确答案，能给出详解吗？我的答案是错误的吗？麻烦您了。

Answer 1

掌握正确思路就好了
题目中涉及A和A*及相应方程组, 需联想到的知识点:
1. AA*=A*A=|A|E
2. r(A*) = n, 当 r(A)=n
r(A*) = 1, 当 r(A)=n-1
r(A*) = 0, 当 r(A)<n-1

解: 因为AX=0的基础解系是(1,0,-2,0)^T
所以 r(A) = 4-1 = 3
所以 r(A*) = 1.
所以 A*X=0 的基础解系含 4-1=3 个解向量.
所以只能选择(C)或(D).
--不必考虑 因为A*A=0故A的列向量都是A*X=0的解
--只要考虑C,D两组哪组是线性无关的
由于 (1,0,-2,0)^T 是AX=0的解
所以 a1-2a3=0
故 (C)中 a1,a2,a3 线性相关.
故 (D) 正确.

Answer 2

不是同解，只有公共解
R(A)=3
R(A*)=1
A*有三个线性无关解向量
所以我认为选D ，刚才手误不好意思
由AX=0 而ξ=(1,0,-2,0)T知道
A=（a1,a2,a3,a4） Aξ=0 求出(a1,a2,a4),或者(a2,a3,a4)线性无关
而AA*=0 所以A*是方程的解，而A*秩=1，所以必然有三个解向量
反过来看，A*x=0那么A也是其解，所以A的三个线性无关解向量(a1,a2,a4),或者(a2,a3,a4)都是A*的解

Answer 3

“R(s)=4-R(A)=>R(A)=3=>|A|=0;
A(A*)=(A*)A=|A|E=0;
=>A*的解系应该是A的列向量;”

到这里理解得差不多都对，最后一句应该写成
(A*)x=0的基础解系应该是A的列向量中的极大线性无关组。
或者
(A*)x=0的解空间应该是由A的列向量张成。

“(A*)Ax=A(A*)x=0
=>Ax为(A*)x=0的解，疑问的是，他们应该是同解的吧？”

对任何向量x，Ax都是(A*)y=0的解，这个就是前面的结论。
接下去那句就莫名其妙了，对于这个问题而言Ax=0的解空间和(A*)x=0的解空间互补，而对于一般的矩阵A来讲Ax=0的解空间和(A*)x=0的解空间关系并不是一句话能讲清楚的。

正确的做法：先分析出(A*)x=0的解空间是span{a1,a2,a3,a4}，再利用条件得到a1-2a3=0，即a1和a3线性相关，所以解空间就是span{a1,a2,a4}=span{a2,a3,a4}，取它的任意一组基就行了，D是正确的。