Question

曲线y=ln(x+(√x^2+1))在(0,0)的曲率是多少

曲线y=ln(x+(√x^2+1))在(0,0)的曲率是多少

Answer 1

解：
y'=1/x，y"=-1/x²
所以曲线在（1，0）处曲率
k=1/x²/（1+1/x²）^3/2=√2/4
曲率半径r=2√2
由于曲线y=lnx在（1，0）处切线斜率y'=1，所以
法线方程y=-x+1，设（a，b）为曲率圆圆心，则
b=-a+1
又（a-1）²+（b-0）²=8，
解得a=3，b=-2
所以曲率圆方程为
（x-3）²+（y+2）²=8

Answer 2

已知f（x）=e的x+m次方－x³，g（x）=ln（x+1）+2
1.若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1，求实数m的值
2.当m≥1时，证明f（x）＞g（x）－x³(1) f'(x)=e^(x+m)-3x^2
f'(0)=e^m=1
m=0
(2) m>=1
h(x)=e^(x+m)-ln(x+1)
=e^me^x[1-ln(x+1)/e^x]
则 只要证明
1-ln(x+1)/e^x>0即可
即 e^x>ln(x+1)
此时 h(x)>0
故 f（x）＞g（x）－x³