Question

巳知⊙O的半径为R,若它的内接△ABC中,2R(sin^2A-sin^2C)=(√2a-b)sinB成立.求其周长的最大值

是求周长啊

Answer 1

∵ 2R(sin²A-sin²C)=（√2a-b)sinB,
又∵a/sinA=2R,b/sinB=2R,c/sinC=2R,
∴原式变成 a×sinA-c×sinC=√2a×sinB-b×sinB
∴a×sinA-c×sinC+b×sinB=√2a×sinB
式子两边同乘以2R，则原式变为
a²+b²-c²=√2ab
∴c²=a²+b²-√2ab
又∵c²=a²+b²-2ab×cosC,
∴-√2ab=-2ab×cosC
∴-√2=-2×cosC
∴cosC=√2/2
∴C=45°

A+B=135°
sinA+sinB=sinA+sin(135°-A)= sinA+sin135°cos A -cos135°sin A
= sinA+√2/2 cos A+√2/2 sin A=3√2/2 sin A+√2/2 cos A
=√5(3√10/10 sin A+√10/10 cos A)
=√3sin(A+θ)，其中tanθ=1/3.
因为0°<A<135°，
sin(A+θ)≤1，√3sin(A+θ)≤√3.
所以sinA+sinB的最大值是√3.
∴三角形的周长=a+b+c
=2R(sinA+sinB+sinC)
=2R(sinA+sinB+√2/2 )
≤2R(√3+√2/2 )= (2√3+√2) R.