Question

设定义域在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),求实数m的取值范围

Answer 1

【解法一】
F（X）为偶函数，则有f(-x)=f(x)=f(|x|) (因为|x|=x或-x)
f(1-m)<f(m)等价于f(|1-m|)<f(|m|),
根据定义域可得： -2≤1-m≤2，-2≤m≤2，
解得-1≤m≤2
因为函数F（X）在区间【0，2】上单调递减，
所以I1-mI> ImI，平方得1-2m+m^2>m^2,解得m<1/2.

综上可知：-1≤m<1/2.

【解法二】
定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，
因为f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x),函数图像关于y轴对称，
所以f(x)在区间[-2,0]上单调递增。
定义域
-2<=m<=2
-2<=1-m<=2
-3<=-m<=1
-1<=m<=3
所以-1<=m<=2

若1-m>=0,m>=0
0<=m<=1
f(x)递减
则1-m>m
m<1/2
0<=m<1/2

若1-m<0,m<0
不成立

若1-m>0,m<0
-2<=m<0
f(m)=f(-m)
-m>0
此时f(x)递减
所以1-m>-m
1>0
恒成立
-1<=m<0

若1-m<0,m>0
1<m<2
f(m)=f(-m)
-m<0
此时f(x)递增
所以1-m<-m
1<0
不成立

综上-1<=m<1/2

Answer 2

分类讨论
当1-m>=0 m>=0时，得0=<m=<1 又因为它在[0,2]上递减，所以1-m>m 得0=<m<0.5
当1-m<0 即m>1时，1-m>m得m<0.5 故不符合题意。
当1-m>0且m<0时 由2次偶函数图像得知 -m>1-m 得m<-0.5
综上m属于（负无穷，-0.5）并上【0，0.5）