Question

已知圆C:x²+（y-1)²=5，直线L：mx-y+1-m=0，设该直线与圆相交于AB两点，若|AB|=√17，求L的倾斜

再求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程。

Answer 1

mx-y+1-m=0 =>y=mx+1-m
代入圆方程 =>
x²+（mx-m)²=5 =>
(1+m²)x²-2m²x+m²-5=0 (1)
设两交点为(x1,y1)(x2,y2)
|AB|=根号[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]=根号(1+m²)|x2-x1| (x2,x1为方程1的两个根)
|x2-x1|=根号[(x1+x2)^2-4x1x2]=根号{2m²/(1+m²)]^2-4(m²-5)/(1+m²)}=√17/根号(1+m²)
=>(2m²)^2-4(m²-5)(1+m²)=17(1+m²)
=>3-m²=0 m=根号3，负根号3.(即为斜率)

|AB|=根号[4m^4/(1+m²)-4(m²-5)]=根号[(20+16m²)/(1+m^2)]=根号[16+4/(1+m^2)]
=> m=0 |AB|=20 取最大值
m=无穷大时，|AB|=16 取最小值