Question

满足a+b+c+d+e=abcde的正整数a,b,c,d,e有多少组,为什么?

Answer 1

不妨设a<=b<=c<=d<=e
5a=<a+b+c+d+e<=5e
5a=<abcde<=5e
abcd<=5 , bcde>=5
1)d=5, abc<=1, a=b=c=1, 8+e=5e-->e=2, 不符
2)d=4, abc<=1.25, a=b=c=1, 7+e=4e-->e=7/3, 不符
3)d=3, abc<=5/3, a=b=c=1, 6+e=3e--> e=3, 符合
4)d=2, abc<=2.5, c=2, a=b=1, 6+e=4e--> e=2, 符合
c=a=b=1, 5+e=2e--> e=5, 符合
5)d=1, a=b=c=1, 4+e=e, 不符
因此不算对称解只有以下几组：
(1,1,1,3,3), (1,1,2,2,2), (1,1,1,2,5)
算上排列组合的对称解则共有：C(5,2)+C(5,2)+P(5,2)=10+10+20=40组解。