Question

已知关于x的不等式ax^2+ax+1>0对于一切实数恒成立,求实数a的求值范围

Answer 1

0<a<4

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详细

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由题可知a>0
若该不等式成立，则△=a^2-4a<0
所以解得0<a<4

追问

答案是a大于等于0小于等于4

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若a=4，原式=（2x+1)^2
当x=-1/2时，原式=0，和题目相矛盾

所以答案错了

Answer 2

解：要使关于x的不等式ax²+ax+1>0对于一切实数恒成立
则要函数y=ax²+ax+1的图解开口向上，且△＜0
△=a²-4a
=a(4-a)＜0
且a＞0
所以又有4-a＜0
a＞4
所以实数a的取值范围为 a＞4

追问

0<a<4

追答

关于x的不等式ax^2+ax+1>0对于一切实数恒成立
说明函数y=ax²+ax+1的图解始终在x轴上方，
所以函数的图解开口一定向上，不然肯定有交点
且方程ax²+ax+1＝0无实数解，不然图解与x轴有交点了，
所以应当同时满足条件二次项系数a＞0和△＜0（即方程无实数解）
所以△=a²-4a
=a(a-4)＜0
且a＞0
所以又有a-4＜0
a<4
所以0<a<4。

追问

答案是a大于等于0小于等于4

追答

当a=0时，1＞0时成立的
当a=0时，ax²+ax+1＝4x²+4x+1＝(2x+1)²
很明显x=-1/2时ax²+ax+1＝4x²+4x+1＝(2x+1)²＝0，不符合要求
所以最后正确答案应为：
0≤a<4