Question

圆锥曲线方程导数如何得出？

比如圆锥曲线中x∧2可以换成x×x’，其他的xy，x+y，x
又要换成什么呢？
说错了，不是导数，是切线方程，问题中的x’应该是任意一点的横坐标X0

Answer 1

设在椭圆上有一点P（x1,y1)经过此点椭圆的切线方程为：x1*x/a^2+y1*y/b^2=1

方法一：设切线的方程为Y-Yo=k(X-Xo)即Y=k(X-Xo)+Yo ①
把①式代入椭圆方程X^2/a^2+Y^2/b^2=1,得：
X^2/a^2+[k(X-Xo)+Yo]^2/b^2=1即：
b^2·X^2+a^2·[k^2·(X-Xo)^2+Yo^2+2Yo·k(X-Xo)]=a^2·b^2即：
(b^2+a^2·k^2)X^2-(2a^2·k^2·Xo-2a^2·k)X+(a^2·k^2·Xo^2+a^2·Yo^2-2a^2·k·Xo-a^2·b^2)=0
由于切线Y-Yo=k(X-Xo)与椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2=1相切，所以上式方程有且只有一个实数解。
则△=(2a^2·k^2·Xo-2a^2·k)^2-4(b^2+a^2·k^2)(a^2·k^2·Xo^2+a^2·Yo^2-2a^2·k·Xo-a^2·b^2)=0
则有k=-(b^2·Xo)/(a^2·Yo)
把k=-(b^2·Xo)/(a^2·Yo)代入切线方程Y-Yo=k(X-Xo)，得：
(a^2·Yo)(Y-Yo)=-(b^2·Xo)(X-Xo)即：
a^2·Yo·Y+b^2·Xo·X=a^2·Yo^2+b^2·Xo^2 ②
又把点(Xo,Yo)代入椭圆方程X^2/a^2+Y^2/b^2=1，得：
Xo^2/a^2+Yo^2/b^2=1 即 b^2·Xo^2+a^2·Yo^2=a^2·b^2 ③
把③式代入②式，得：
a^2·Yo·Y+b^2·Xo·X=a^2·b^2
等式两边同时除以a^2·b^2，得：
Xo·X/a^2 + Yo·Y/b^2=1
方法二：用隐函数求导
有 椭圆方程两边分别对x求导：
b²x²+a²y²-a²b²=0

2b²x+2a²y*(dy/dx)=0
(dy/dx)=-b²x1/(a²y1)

即k=-b²x1/(a²y1)

则切线方程是：y-y1=k*(x-x1)=[-b²x1/(a²y1)](x-x1)
(y-y1)(a²y1)+b²x1(x-x1)=0
a²yy1+b²x1x-（a²y1²+b²x1²）=a²yy1+b²x1x-a²b²=0
即：xx1/a²+yy1/b²=1

双曲线过点（x0,y0)的切线为
x0*x/(a^2)-y0*y/(b^2)=1

证明：x²/a²-y²/b²=1.对x求导：2x/a²-2yy′/b²=0.
（x0,y0）的切线斜率y′=x0b²/y0a²
（x0,y0）的切线方程：（y-y0）＝x0b²/y0a²（x-x0）.
注意到b²x0²-a²y0²＝a²b².
切线方程k可化简为：x0x／a²-y0y／b²＝1.

求抛物线:y^2=2px 在点(a,b)处切线的方程
解:抛物线方程两边对x求导:得:
2yy'=2p 即 y'=p/y
故抛物线在(a,b)处切线的斜率为p/b
所以在(a,b)处切线方程为: y-b=（p/b）(x-a)
又: b^2=2pa 所以 y+b=p(x+a)
即抛物线y^2=2px在(a,b)处切线方程为: y+b=p(x+a)

Answer 2

解:抛物线方程两边对x求导:得: 2yy'=2p 即 y'=p/y 故抛物线在(a,b)处切线的斜率为p/b ********************************************** 如果把y^2=2px变成x=y^2/2p求导得x'=y/p,在（a,b）处的斜率就为b/p了。和上面的不一样了。 这是为什么呢？回复

Answer 3

比如说椭圆
x2/a2+y2/b2=1
两边对x求导
2x/a2+2yy'/b2=0
所以y'=-xb2/ya2
你所说的那个不是导数，是切线方程的求法
希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O,也别忘了采纳！