Question

已知，如图，在Rt△ABC中，AB＝AC,∠A＝90°,D为边上任意一点DF⊥AB于F,DE⊥AC于E,M为BC中点

试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论.

Answer 1

△MEF是等腰直角三角形
证明：连结AM
∵AB＝AC，∠A＝90°，∠B＝45°
又DF⊥AB，∴ ∠BDF＝∠B＝45°
∴BF＝DF，∴BF＝AE
∵AB＝AC，∠A＝90°，M为BC的中点
∴∠MAE＝∠B＝45°，且AM＝BM
在△AEM和△BMF中
AE＝BF，∠MAE＝∠B，AM＝BM
∴△AEM≌△BMF
∴ME＝MF，∠AME＝∠BMF
∴∠EMF＝∠AME＋∠AMF＝∠BMF＋∠AMF＝90°
∴△MEF是等腰直角三角形