Question

已知二次函数y=x的平方-kx-2+k

1.k为何值时，y=x的平方-kx-2+k与x轴的两个交点A,B之间的距离最小
2.设抛物线与y轴交于C，当k为6时，S△ABC为多少

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Answer 1

解：1.设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为x1、x2
依题意即求 |x1-x2|的最小值
抛物线与x轴相交两点 即方程x²-kx+2+k=0 ① 有两个解x1、x2
由韦达定理 x1+x2=k x1*x2=k+2
|x1-x2|=√(x1-x2)²=√[(x1+x2)²-4x1*x2]=√(k²-4k-8)
|x1-x2|的最小值可以取到0，即k²-4k-8=0 得k=2±2√3
（其实我们知道当A、B重合时，两点的距离是最小的，直接用△=0就可以得到答案）
2.k=6 则抛物线方程为y=x²-6x+8
y=0，求得x1=2，x2=4 即A,B两点横坐标为2和4 ，线段AB=2
x=0，得y=8 即C点的纵坐标为8 △ABC的高为8
S△ABC=2×8÷ 2=8

Answer 2

1.记x^2-kx-2+k=0两根x1，x2且x1＜x2
x2-x1=根号（x2-x1）^2=根号（x2+x1）^2-4x1x2=根号k^2-(-2+K)=根号K^2-K+2
=根号(K-1/2)^2+3/2，当k=1/2时两个交点A,B之间的距离最小为：根号6/2
2.k=6时AB=根号(K-1/2)^2+3/2=4根号2
Yc=-2+6=4
S△ABC=1/2*4根号2*4=8根号2

Answer 3

1，判别式=（k-2)²+4≥0 两个交点A,B之间的距离最小，则k=2
2，k=6,x=0代入方程 与y轴的交点（0,4），A(3+√5,0) B(3-√5,0)
计算面积得4√5

Answer 4

1.当二次函数有两个相等的实数根时，距离等于0，也就是说b^2-4ac=0
所以k^2-4*1*（2+K）=0
=k^2-8-4k
=(k+2)^2-12
解得k1=2√3-2 k2=-2√3-2
2.当k=6时，解析式为y=x^2-6X+8当y等于0时，解得x=2，x=4，线段AB=2
与y轴交与点c
所以高是8S△abc=2*8*1/2=8