Question

e^x=ax+b解的个数如何判断？

e^x=ax+b解的个数如何判断？显然，a小于等于0时有唯一解，那么当a大于0时如何判断方程有几解？

Answer 1

解析：
//此乃“超越方程”
//分类讨论
//使用“数型结合法”
//“数型结合法”隐含使用“一阶/二阶导数”
令y1=e^x，y2=ax+b；
在xoy坐标系下，分别作出y1和y2的图像
y1与y2图像的交点个数，即“方程的根的个数”
显然，
(1) a<0且b∈R时，y1与y2有1个交点
(2) a=0且b≤0时，y1与y2无交点
(3) a=0且b>0时，y1与y2有1个交点
(4) a>0时，
4.1 临界情况，y1与y2相切
e^x=a....①，e^x=ax+b.....②
联立解得，x=1-b/a，a=e^(1-b/a)
4.2 0<a<e^(1-b/a)时，y1与y2无交点
4.3 a>e^(1-b/a)时，y1与y2有两个交点

追答

(1)附图

(2)附图

(3)附图

PS：关于(4)的解释
(4) a>0时，
临界情况：相切
(e^x)'=(ax+b)'.......①
e^x=ax+b..............②
联立解得，
x=1-b/a，
a=e^(1-b/a)
即，b=a(1-lna)
4.1 b=a(1-lna)相切
4.2 ba(1-lna)有2个交点
详见附图

((这样子更容易理解))

追问

麻烦问一下，你用的是什么软件作图呢？

追答

Algeo

(1) Algeo还可以，但是有bug。
(2) 对于√x，lnx之类的函数，画图效果不是太好。
(3) 作为计算器，大数据计算结果，有时是错的。
(4) 建议，自行测试一下
(5) 另外，可结合Graph使用
(6) 隆重推荐MATLAB(功能超强悍)