Question

当x趋于0，(a^x-1)/x=lna的求解过程

如题，这个转换过程是怎么样的，请给出详细的过程。

Answer 1

原因就是使用洛必达法则，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。 　　
设 　　
(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0； 　　
(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么 　　
x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

具体你的题目就是分子求导得到a^x*lna，分母求导得到1，再取极限x->0，分子变成lna，就是极限值。

追问

不使用求导能解不？求导会出现一个循环问题
这个问题：
a^x的导数 = a^xlna
但这个结果是这样得来的：
设h,h趋于0 [a^(x+h) - a^x] / h = a^x(a^h-1)/h,这样又回到原来的问题了，当(a^h-1)/h = lna时，a^x的导数才等于a^xlna。

追答

首先我要说你追问的问题非常好，题目要求的这个极限其实就是函数a^x在0处的导数值，因为导数本身就是由这个极限定义出来的。所以这里确实不应该用求导来做。下面的方法你应该可以看得懂：
令a^x-1=t，根据指数函数连续性，当x->0时，t->0
然后，x=loga(1+t)，（以a为底的对数）
(a^x-1)/x=t/[loga(1+t)] 并且 x->0变成是t->0的极限
因为[loga(1+t)]/t=loga[(1+t)^(1/t)]
并且，t->0时，[(1+t)^(1/t)]=e是显然的。
所以 [loga(1+t)]/t=loga[(1+t)^(1/t)] -> loga(e)
所以 (a^x-1)/x=t/[loga(1+t)] -> 1/loga(e)=lna

Answer 2

(a^x-1)/x上下都趋于0且可微，那么(a^x-1)/x=[(a^x-1)/x]‘=(a^x)lna/1=(a^x)lna=lna

追问

不使用求导能解不？求导会出现一个循环问题
这个问题：
a^x的导数 = a^xlna
但这个结果是这样得来的：
设h,h趋于0 [a^(x+h) - a^x] / h = a^x(a^h-1)/h,这样又回到原来的问题了，当(a^h-1)/h = lna时，a^x的导数才等于a^xlna。

追答

求导的话，直接用公式，不用定义

要不把a^x用麦克劳林公式（或泰勒公式在x0=0）处展开，分子=a^0+(a^0)(lna)x+o(x^2)-1=(lna)x+o(x^2)，这样总可以了吧

Answer 3

上下求导得：
[a^x ln a ]/ 1
= a^x ln a
= ln a (因为x->0时， a^x ->1)

追问

不使用求导能解不？求导会出现一个循环问题
这个问题：
a^x的导数 = a^xlna
但这个结果是这样得来的：
设h,h趋于0 [a^(x+h) - a^x] / h = a^x(a^h-1)/h,这样又回到原来的问题了，当(a^h-1)/h = lna时，a^x的导数才等于a^xlna。