Question

已知在△ABC中，点A、B的坐标分别为（-2,0）和（2,0），点C在x轴上方。

（1）若∠ACB=45°，求△ABC的外接圆的方程
（2）若在给定直线y=x+t上任取一点P，从点P向（1）中圆引一条切线，切点为Q。问是否存在一个定点M，恒有PM=PQ？请说明理由！

Answer 1

（1）先用正弦定理可知AC/SinC=2R，进而求得R，设出圆心坐标，根据勾股定理求的s，则外接圆的方程可得．
（2）假设存在这样的点M（m，n），设点P的坐标，进而根据PM=PQ，求得关于x的方程，进而列出方程组，消去m，得到关于n的一元二次方程，分别讨论当判别式大于0或小于等于0时的情况．

解：（1）∵ AC/SinC=2R，所以2R=4√2 ，即R=2√2
又圆心在AB的垂直平分线上，故可设圆心为（0，s）（s＞0），
则由4+S²=8，所以△ABC的外接圆的方程为x²+（y-2）²=8
（2）假设存在这样的点M（m，n），设点P的坐标为（x，x+1），
∵恒有PM=PQ，所以（x-m）²+（x+t-n）²=x²+（x+t-2）²-8，
即（2m+2n-4）x-（m²+n²-2nt+4t+4）=0，对x∈R，恒成立，
从而 2m+2n-40
m²+n²-2nt+4t+4=0，

消去m，得n²-（t+2）n+（2t+4）=0
∵方程判别式△=t²-4t-12，
∴①当-2＜t＜6，时，因为方程无实数解，所以不存在这样的点M
②当t≥6或t≤-2时，因为方程有实数解，且此时直线y=x+t与圆相离或相切，故此时这样的点M存在