Question

过点M(2,4)向圆C:(x-1)^2+(y+3)^2=1引两条切线，切点分别为P,Q. （1）直线PQ的方程 （2）切点弦PQ的长

Answer 1

圆心C（1，-3）到M（2，4）的距离=√[（1-2）^2+（-3-4）^2]= √（50）
在直角三角形MPC和MQC中，半径=1
lMPl=lMQl=√（50-1）=7
∴我们要找的是圆上到点M距离为7的点
∴设切点坐标为（x，y）列方程组：
1. （x-2）^2+（y-4）^2=7^2
2. (x-1)^2+(y+3)^2=1
2式减1式，得2x+14y+38=0，即x+7y+19=0，
x，y的解的轨迹是一条直线。将最后的方程解完最后将会得到两个解，即是两个切点,而这两个切点坐标都满足x+7y+19=0，所以x+7y+19=0就是所要求的直线。

下面求出直线x+7y+19=0被圆C:(x-1)^2+(y+3)^2=1截得的弦长即是PQ的长。
圆心C（1，-3）到直线x+7y+19=0的距离为：
d=|1-21+19|/√(1^2+7^2)=√2/10，
圆的半径R=1,
圆的半径、圆心到直线的距离、弦长一半构成直角三角形，
所以弦长一半为√[1^2-(√2/10)^2]= 7√2/10，
∴PQ的长为7√2/5.

Answer 2

(1)解：圆心O=(1,-3)
设y-4=k(x-2)(1)
带入圆方程令德尔塔=0
(x-1)^2+[k(x-2)+7]^2=1
x^2+1-2x+k^2(x-2)^2+49-14k(x-2)-1=0
x^2+1-2x+k^2x^2+4k^2-4k^2x+49-14kx+28k-1=0
(1+k^2)x^2+(-2-4k^2-14k)x+4k^2+49+28k=0
x1=(1+2k^2+7k)/(1+k^2) y=[(1+2k^2+7k)/(1+k^2)-2]k+4
P到O的距离为1
解出k有两个解
然后P,Q就已知
利用两点式可以求出过PQ的直线方程
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)