Question

如图,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,OF⊥AD,AE⊥BD,E、F为垂足,且BE=3分之1DE,OF=4。

求（1）∠ADB的度数 （2）求AE的长

Answer 1

解:(1)∵四边形ABCD为矩形,
∴OA=OB=OC=OD;
又BE=1/3DE
∴BD=4BE,OB=2BE
∴EB=EO.
又AE⊥OB,
∴OA=AB.
∴OA=AB=OB,
∴三角形OAB为等边三角形,
∴∠ABD=60°,∠ADB=30°.
(2)∵OF⊥AD,OA=OD,
∴AF=DF,
∴CD=2OF=8.
∴AB=CD=8.
∵∠BAE=30°,
∴BE=AB/2=4,
∴AE=√(AB^2-BE^2)=4√3.

Answer 2

解：因为be比bd=1比4，
所以be:bo=1:2,
所以be=oe,
所以ab=ao,
又在矩形abcd中，oa=ob,
所以△abo是等边三角形，
因为of⊥ad于f，bo=do,
所以of是△abd的中位线，
又of=4，
所以ab=8,
所以bc=8√3，
所以矩形abcd的周长：2(ab+bc)=16(√3+1)

Answer 3

解:(1)四边形ABCD为矩形,则OA=OB=OC=OD;
又BE=(1/3)DE,则BD=4BE,OB=2BE,得EB=EO.
又AE⊥OB,则OA=AB.(线段垂直平分线的性质)
∴OA=AB=OB,三角形OAB为等边三角形,得∠ABD=60°,∠ADB=30°.
(2)OF垂直AD,OA=OD,则AF=DF,故CD=2OF=8.(三角形中位线的性质)
则AB=CD=8.
∠BAE=30°,则BE=AB/2=4, AE=√(AB^2-BE^2)=4√3.

Answer 4

BE·DE=3BE^2=AE^2, AE/BE=根号三,所以∠DBA=60°，所以∠BDA=30°
AB=2OF=8，AE=AB·cos30°=4·根号三