Question

高中物理竞赛试题，不简单啊 非常感谢各位

竖直面内有一个轻质弹簧，一端固定，另一端系一个质量为M的小球，弹簧劲度系数为k，小球最初静止在自然长度l处，现在有一个质量为m的子弹沿水平方向，也就是垂直于弹簧的速度v射中小球，且M与m合为一体，问此后弹簧的长度为L时，小球速度大小和方向

Answer 1

根据动量定理，设二者的合速度为v0
mv=(M+m)v0
v0=mv/(M+m)
设此后弹簧长度为L时，小球的速度为v1,速度方向与水平方向的夹角为a，向上
则此时弹簧与竖直方向的夹角大小也为a，重力在弹簧方向的分力大小为
F1=(M+m)g·cosa
离心力大小为
F2=(M+m)v1^2/L
F1和F2对弹簧的合力F使弹簧由l伸长为L，则
F1+F2-Mg=k(L-l)
同时，当弹簧伸长为L时，小球离顶端的竖直距离为h=Lcosa
重力势能变化量为
Ep=(M+m)g(h-l)=g(M+m)(Lcosa-l)
等于动能的变化量
Ek=0.5(M+m)v1^2-0.5(M+m)v0^2=g(M+m)(Lcosa-l)
【注意，重力势能变化时后者减前者，等于动能变化量，是前者减后者，当然也可以分别求初状态和末状态的总能量，二者相等】
即，0.5(v0^2-v1^2)=g(Lcosa-l)

联立
F1+F2-Mg=(M+m)g·cosa+(M+m)v1^2/L-Mg=k(L-l)
0.5(v1^2-v0^2)=g(Lcosa-l)
其中v0=mv/(M+m)
解出cosa，和v1
cosa={[MgL+KL(L+l)]/(M+m) + 2gL-[mv/(M+m)]^2}/3gl
则a=arca（上面的式子）
有上面的第二式，可知
v1^2=v0^2+2g(Lcosa-l)
带入cosa即可求出

Answer 2

一开始小球是静止的，所以动能为0，势能也可以设为0，子弹射入小球内的那刻，系统保持动量守恒，即mv=(m+M)v1,求出v1为子弹射入小球体内那刻后两合体的速度。
后面这个系统与弹簧构成了一个能量守恒系统，即1/2(m+M)v2^2=1/2(m+M)v1^2+1/2kl^2+(m+M)gh,，其中V2为弹簧为L时的合体的速度，h为其上升的垂直高度，再构造几何图形可以知道h与L的关系，

Answer 3

用动量守恒定律和能量守恒定律

追问

我知道啊，具体怎么分析啊，我用的动量和机械能做不出来

Answer 4

有外力不能用动量定理。算出弹簧原长，再算出长度为L时的弹力F，子弹和小球重力为（M+m）g，根据合力就知道向心力了。再用向心力公式求出速度，夹角算出来表达方向。