Question

关于极限不等式性质证明题

原题：设f(x)在负无穷到正无穷可导，且limf（x）=limf(x)=A
x->+无穷 x->-无穷
求证：，存在c在（负无穷，正无穷），使得f'(x)=0
答案给的：由极限不等式性质转化为有限区间的情形
若f(x)恒等于A，显然成立，若不恒等于，必存在Xo,f（Xo）不等于A，不妨设
f（Xo）<A,由极限不等式性质，存在b>Xo，f(b)>f（Xo），存在a<Xo,f(a)<f(Xo).f(x)在[a,b]有最小值，它不能在a,b处达到，必在（a,b）某点C达到，所以f'(c)=0
我的疑问是，答案引进的x=a和x=b，何以确定“b>Xo，f(b)>f（Xo）”和“存在a<Xo,f(a)<f(Xo)”？？？根据什么可以这样设？

请注意，我只要问为什么书上说根据极限不等式得出“b>Xo，f(b)>f（Xo）”，怎么由极限不等式推出来的？？谢谢

Answer 1

f（Xo) <A
Limit [ f(x), x->+∞ ] = A <=> 任给 ε >0， 存在N, 当x>N时， 恒有 | f(x)-A | < ε
=> 取 ε1 = [A - f(x0) ] / 2 , 存在 N1, 当x>N1 时， 恒有 | f(x)-A | < [A - f(x0) ] / 2
即：当x>N1 时， 恒有 A - [A - f(x0) ] / 2 < f(x) < A + [A - f(x0) ] / 2
f(x) > [ f(x0) + A] / 2 > f(x0)
=> 存在b>Xo，f(b)>f（Xo）
也可以考虑 g(x)= f(x) - A, Limit [ g(x), x->+∞ ] = 0 ......

Answer 2

极限不等式也即极限的保号性（或其推论）：若limf(x)(x->+∞)=A>c,c为某个常数，则必存在b，使得f(b)>c。显然因为f(b)最终是要趋近于A的，所以肯定会有比c大的情况。（证我就不证了）大概就是这个意思。所以题目说f（Xo）<A，那必然有b使得f(b)>f（Xo）。

Answer 3

若limf(x)(x->+∞)=A>c,c为某个常数，则必存在b，使得f(b)>c。显然因为f(b)最终是要趋近于A的，所以肯定会有比c大的情况。（证我就不证了）大概就是这个意思。所以题目说f（Xo）<A，那必然有b使得f(b)>f（Xo）