Question

如图,四边形ABDF中,点C、E分别在AF,DF上,且AB=AC,BD=DE,∠BDE=2∠ABC，M为CE中点。

求证：（1）AM⊥DM；（2）若三角形ABC为等边三角形，求AM/DM的值

Answer 1

(1)证明:延长AM到G,使MG=MA,连接GE.

又MC=ME,∠AMC=∠GME,则:⊿AMC≌ΔGME(SAS),得GE=AC=AB;∠MEG=∠MCA.

∴EG∥AF,得∠FEG=∠F.

AB=AC,则:∠ACB=∠ABC;又∠BDE=2∠ABC,即∠BDE=∠ABC+∠ACB.

故∠BDE+∠CAB=180度,得:∠F+∠ABD=180度.(四边形内角和为360度);

又∠FEG+∠GED=180度,则:∠F+∠GED=180度.(等量代换)

∴∠GED=∠ABD;又BD=DE,则:⊿ABD≌ΔGED(SAS),得AD=GD.

又MG=MA,所以AM⊥DM.(等腰三角形底边上的中线也是底边上的高)

(2)解:⊿ABD≌ΔGED(已证),则∠ADB=∠GDE;

AD=GD,MG=MA,则:∠ADM=∠GDM=∠GDE+∠FDM=∠ADB+∠FDM,即∠ADM=(1/2)∠BDF.

若⊿ABC为等边三角形,则:∠CAB=60°,得:∠BDF=120°.则:∠ADM=60°.

又AM⊥DM,则∠DAM=30度,得AD=2DM,故AM=√(AD^2-DM^2)=√3DM,则AM/DM=√3.