Question

若函数y=f(x)的值域是[1/2,3].则函数F(x)=f(x)+1/f(x)的值域是？ 答案:[2,10/3]

Answer 1

原题等价于x属于[1/2,3]，求g(x)=x+1/x的值域。
因为g(x)=x+1/x在1/2<x<1内单调递减，在1<x<3内单调递增
所以g(x)min=g(1)=2
g(x)max=max{g(1/2),g(3)}=max{5/2,10/3}=10/3
所以F(x)=f(x)+1/f(x)的值域是[2,10/3]

追问

为什么原题等价于x属于[1/2,3]，

追答

f(x)的值域是[1/2,3]，把f(x)看成是x，那么f(x)+1/f(x)就可以看成是x+1/x
f(x)的值域是[1/2,3]，那么将f(x)看成x后，x的定义域范围就是原来f(x)的值域[1/2,3]

追问

我数学太差了，所以为什么g(x)=x+1/x在1/2<x<1内单调递减，在1<x<3内单调递增

追答

这是“√”函数，就是先减后增的函数，数学课上应该讲过的吧。

Answer 2

不知道你学过一个公式没有a+b>=(2ab)^1/2,(a,b>0),当且仅当a=b时取等号也就是最小值
这里看成a=f(x),b=1/f(x),那么a=b时，f(x)=1，F(x)=2
F(x)则在［1/2，1］递减，［1，3］递增，然后试一下x=3时最大F(x)=10/3