Question

设f(0)=0,则f(x)在x=0处可导的充要条件为

a.当h->0时f(1-cosh)/h^2存在
b.当h->0时f(1-e^h)/h存在
c.当h->0时f(h-sinh)/h^2存在
d.当h->0时[f(2h)-f(h)]/h存在

我想问的上述几个式子，和倒数的定义公式根本不一样啊，导数的公式不是要求，分子上面为因变量增量比上自变量增量，但是1-cosh怎么也想不出可以和h^2联系在一起啊

Answer 1

1-cosh等价于h^2/2,有联系啊!
但本题1-cosh>=0,只能说明右极限!
A错
C中h-sinh等价于h^3/3!,C错!
D中,不能表现出在f(0)连续,D错!
应该选B.

追问

c中h-sinh等价的关系，不太清楚过程哦，可以稍微指点下么？考研高数书中没有提及。
另外想请问下，对于这种选择题，如果在不知道等价关系的时候，是不是可以直接看分母的整体是否可以直接在x0的两侧趋向那。而不去验证是否有等价关系那？

追答

lim(h-sinh)/h^3
=lim(1-cosh)/3h^2
=limsinh/6h
=1/6
(洛必达法则)
所以h-sinh等价于h^3/6,

追问

请问大哥，解这种题的时候是否都要先要验证下是否是有等价关系的，还是直接看分母的整体是否可以直接在x0的两侧趋向那？

追答

先验证是否同阶,不必等价的,
然后再看分母的整体是否可以直接在x0的两侧趋向那.

追问

哦，明白了，太感谢了，书上写的是用排除法，AC，由于只能在一个方向上趋向，直接排除。
大哥您排除C，按照之前的说法，是不是因为h-sinh和h^2不是同阶的对吧？

追答

我是凭做题的感觉,书上用h>sinh,好象不对,因为
h<0时,h<sinh,不是"只能在一个方向上趋向".

Answer 2

追问这么多次都不采纳，我无语啊，不答了！