Question

设函数f(x)=√（x²+1)-ax,(a>0),试确定：当a取什么值时，函数f(x)在(0,+∞)上为单调函数。

还没有学过导数…

Answer 1

解：
可以设 y1=√（x²+1)，y2=ax
y2的斜率为k2=a
y1的斜率，当x趋近0时趋近0，在x趋近无穷大时趋近于1；k1 属于(0,1)

只有f(x)的斜率始终大于0或者始终小于0，f(x)才能是单调函数，
所以 k2>k1
所以 k2=a>1
当a>1时函数为单调减函数！

Answer 2

解析：任取x1、x2∈0，＋且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)=－－a(x1－x2)=－a(x1－x2)
=(x1－x2)(－a)
(1)当a≥1时，∵＜1，
又∵x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)
∴a≥1时，函数f(x)在区间［0，＋∞)上为减函数．
(2)当0＜a＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x1=0，x2=，满足f(x1)=f(x2)=1
∴0＜a＜1时，f(x)在［0，＋上不是单调函数
注：①判断单调性常规思路为定义法；
②变形过程中＜1利用了＞|x1|≥x1;＞x2；